分数式の最小値について

質問

問題
x＾2＋x＋(4/x＾2＋x＋1)の最小値を求めるについて

X=x＾2＋ｘ＋1とおくと

与式=X＋(4/X)ー1≧2√X・(4/X)ー１=4-1=3

X=4/X

X=2

まではなんとかわかったのですが

X≧3/4を満たすという答えなのですが、これはどうやって出たものなんでしょうか？

お願いします

回答No.6

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
回答が色々出ていますが、どの辺りが分かりにくいでしょうか？

＞x＾2＋x＋(4/x＾2＋x＋1)の最小値を求めるについて
X=x＾2＋ｘ＋1とおくと
与式=X＋(4/X)ー1≧2√X・(4/X)ー１=4-1=3

途中まで解いておられますが、上の式は
Ｘ＋（４/ｘ）－１≧２√｛Ｘ＊（４/Ｘ）｝－１
　　　　　　　　　　　　↑
ここの部分、相加平均・相乗平均の関係から出た不等式ですね。

上の式において、等号が成立するのは、

Ｘ＝４/Ｘのとき、というわけです。
これを解いて、
Ｘ＾２－４＝（Ｘ＋２）（Ｘ－２）＝０
Ｘ≧０より、Ｘ＝２ですね。
ここまでは、求まったわけですね。

＞X≧3/4を満たすという答えなのですが、これはどうやって出たものなんでしょうか？

みなさんの回答に書かれていますが、

Ｘ＝ｘ＾２＋ｘ＋１・・・・(1)
と、最初におきましたよね？これで平方完成するのです。

Ｘ＝（ｘ＋１/２）＾２－１/４＋１・・・・(2)
となることは、いいでしょうか？
(2)の右辺を展開してみてください。
(1)の右辺と等しくなることが分かりますね。

(2)より
Ｘ＝（ｘ＋１/２）＾２＋３/４ですが
　　----------------
　　　↑
ここの部分は、常に０よりも大きい、ことに注意しましょう。

実数では、あるものを２乗すれば、必ず０よりも大きくなりますよね。
（ｘ＋１/２）もまた、２乗すれば０以上です。

Ｘ＝（ｘ＋１/２）＾２＋３/４
　＝（０以上のもの）＋３/４
ですから、これは、最低３/４で、それよりも大きい数になるはずですね？

というわけで
Ｘ＝（ｘ＋１/２）＾２＋３/４≧３/４
Ｘ≧３/４
が出てくるのです。ご参考になればうれしいです。

回答No.5

Ichitsubo

#4anpankudasaiさん後半の説明を見て気付きましたが、右辺の3/4の事でしょうか。

#2で私の説明中、文章と式をさらに説明すれば
> (x+1/2)^2 + "3/4"は「3/4」以上
> (x+1/2)^2 + "3/4" ≧ 「3/4」
ということです。

回答No.4

anpankudasai

(x+1/2)^2 + 3/4 は

(x+1/2) を a とおくと、

a^2 + 3/4 とかけます

a^2≧0　ですね。ということは

a^2 は負はとれず、一番小さいa^2の値は0です。

a^2 + 3/4　について　a^2 = 0のときは

a^2 + 3/4 = 0 + 3/4　= 3/4 ですね

では a^2 > 0　のときは

「a^2 + 3/4」　は　「3/4」より大きくなります。

3/4　に　0でないa^2という正の数を足せば必ず3/4よりは大きくなります。

この「3/4」は a^2 + 3/4 の3/4です。

よって結論、a^2 + 3/4 ≧ 3/4　

こういうことでしょうか。

回答No.3

Ichitsubo

省略された式変形は
X= x^2 + x + 1
= x^2 + x + (1/4 + 3/4)
=(x^2 + x + 1/4) + 3/4
=(x+1/2)^2+3/4
です

回答No.2

Ichitsubo

> =(x+1/2)^2 + 3/4 ≧ 3/4 の意味がわかりません。
(x+1/2)^2は常に0以上なので、
(x+1/2)^2 + 3/4は3/4以上、つまり式を書けば
(x+1/2)^2 + 3/4 ≧ 3/4です。

補足

3/4はどこから現れたものでしょうか？

回答No.1

noname#7273

X=x＾2＋ｘ＋1
=(x+1/2)^2 + 1 - 1/4
=(x+1/2)^2 + 3/4 ≧ 3/4
との変形からですね。

補足

=(x+1/2)^2 + 3/4 ≧ 3/4 の意味がわかりません。
（x+1/2)^2 + 3/4の出る意味がわかるのですが、≧がでてくるとよくわかりません。

すいません。