相加平均・相乗平均を用いた式の最小値

質問

こんにちは。
次の問題が解けないので、考え方を教えてください。

x>0のとき、x＋(1/4x)の最小値を求めよ。　という問題です。答えは　１　です。

僕が考えたとき方は、まず、式に3x-3xを足して、与式を、4x+(1/4x)-3x とします。
そして、4x+(1/4x)に、相加平均・相乗平均を使っていく・・・という感じです。
その後、のこった-3xをどう処理すればいいのかわかりません。

ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ここは普通に、
x>0,1/4x>0なので、相加相乗平均の関係から、
x+1/4x≧2√x*(1/4x)=1としましょう。

質問者さんのやり方では、
4x+1/4x-3x≧2√4x*(1/4x)-3x=2-3x
4x+1/4x-3x≧2-3x
3xを移項して消去すると
4x+1/4x≧2
となり、4x+1/4xの最小値を求めることになってしまいます。

回答No.2

ereserve67

そのままでいいんじゃないですか．

x+1/(4x)≧2√x・(1/(4x))=2√(1/4)=2・(1/2)=1

等号成立はx=1/(4x),x=1/2の時に限る．