最大、最小の問題

質問

y=sin2x-2cosx(xは0以上２π以下）の最大、最小を求めよ。

　この問題の答えがｘ＝7π/6のとき最大、ｘ＝11π/6のとき最小と
なっているのですが、実際解いて見るとｘ＝０、２πの
とき最小になると思うのです。　僕は間違ってるのでしょうか？

回答No.3

larme001 · ベストアンサー

-３√３/２は-2より小さいですよ？。
あってるか確かめるだけなら電卓でも良いですし、テスト中なら√３が大体1.7ぐらい（細かことを言えば実際は1.7＜√3なので）というのを知っているか、或いはそれぞれ二乗して比べてみても2のほうが小さいというのがわかります。

ちなみに数学のテストかなにかの場合で貴方の答えが合っていたとしても、それが最小である理由が書いていなくてただ代入して小さいはずというのでは点数がもらえないので注意してください。

お礼

回答有難うございます。よくよく考えたら勘違いしてる
ことに気がつきました。

回答No.2

larme001

どの様な根拠で、解いてそうなったといっているのかいまいち分かりませんが、実際にxに11π/6を入れたときと比べてみても明らかに0,2πのときよりも小さいので貴方の計算（もしくは考え方）に間違いがあるのは分かるはずです。
もし「-2cosxが最大のときに最小になる」と考えているのであればそれれは間違いです。ことことは、たとえばy=sin2xとy=-cosxのグラフを書いてみても分かると思います。（実際のyはその2つの関数の和）

計算の仕方は微分して増減から求めるか、3次以上の項が出ないものは三角関数の公式（2倍角など）でこの場合はcosxの二次関数であらわせられると思いますので、t=cosxなどと置いて（-1≦t≦1)の範囲での最大最小を求めるかのいずれかが定石だと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

＞どの様な根拠で、解いてそうなったといっているのかいまいち分かりませんが

　ただ単に与式に0,2π入れたらー２になり、11π/6を入れたら
ー３√３/２なったからです。

回答No.1

ccyuki

微分して増減表を作るんですよ。
　y=sin2x-2cosx　　より
　y’=2cos2x+2sinx
　　=2(1-2sin^2x)+2sinx
=-2(2sin^2x-sinx-1)=-2(2sinx+1)(sinx-1)
y'=0 とすると　sinx=-1/2 より　x=7/6π，11/6π
　　　　　　　　　sinx=1　　より　　x=1/2π
　で後は増減表です。