高1の問題です！

質問

1辺の長さが1の正四面体ＯＡＢＣがある。辺ＯＢの中点をＭとし、点Ｐは辺ＯＣ上を動くものとする。線分ＯＰの長さをｔとするとき、次の問いに答えよ。

(1)ＡＰ^2，ＰＭ^2をｔで表せ。
(2)∠ＰＡＭ＝θとするとき、cosθをｔで表せ。

(3)△ＡＭＰの面積をｔで表せ。
(4)△ＡＭＰの面積の最小値を求めよ。

お願いします^^

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

O=(0,0,0)
A=(1,0,0)
B=(1/2,(√3)/2,0)
C=(1/2,(√3)/6,(√6)/3)
P=(t/2,(t√3)/6,(t√6)/3)
M=(1/4,(√3)/4,0)
とする
(1)
|AP|^2
={(t/2)-1}^2+{(t√3)/6}^2+{(t√6)/3}^2
={(t-2)^2}/4+(t^2)/12+2(t^2)/3
=(t^2-4t+4)/4+3(t^2)/4
=t^2-t+1

|PM|^2
={(t/2)-(1/4)}^2+[{(t√3)/6}-{(√3)/4}]^2+{(t√6)/3}^2
={(2t-1)^2}/16+{(2t-3)^2}/48+2(t^2)/3
=(4t^2-4t+1)/16+(4t^2-12t+9)/48+2(t^2)/3
=t^2-(t/2)+(1/4)
=(4t^2-2t+1)/4

(2)
∠PAM=θ
(AP,AM)=|AP||AM|cos∠PAM=|AP||AM|cosθ
|AP|=√(t^2-t+1)
|AM|=(√3)/2
(AP,AM)=(3-t)/4
cosθ=(AP,AM)/|AP||AM|
=(3-t)/[2√{3(t^2-t+1)}]
={(3-t)√3}/{6√(t^2-t+1)}

(3)
|△AMP|=|AP||AM||sinθ|/2
|△AMP|^2
=|AP|^2|AM|^2|sinθ|^2/4
=|AP|^2|AM|^2{1-(cosθ)^2}/4
={|AP|^2|AM|^2-(AP,AM)^2}/4
=[{3(t^2-t+1)/4}-{(3-t)^2}/16}]/4
=(11t^2-6t+3)/64
|△AMP|={√(11t^2-6t+3)}/8

(4)
|△AMP|
={√(11t^2-6t+3)}/8
=(√[11{t-(3/11)}^2+24/11])/8
≧(√66)/44