組立除法 1次式 ax-k の係数 （a)が１以外のとき

質問

組立除法のやり方で
多項式ax^3+bx^2+cx-dを１次式ex-kで割る時eの係数が１以外のときの計算の仕方がわかりません。
誰か教えてください

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

shiro-maiさん、こんにちは。

＞組立除法のやり方で
多項式ax^3+bx^2+cx-dを１次式ex-kで割る時eの係数が１以外のときの計算の仕方がわかりません。

(x-e)で割るときには、eを入れますよね。
(ex-k)で割るときには、(k/e)を入れればいいのです。

文字でやると、とても面倒な計算になってしまいますので、例題を考えてみましょう。

(x+1)(x+2)(3x+5)という式は、展開していけば

(x+1)(x+2)(3x+5)=(x^2+3x+2)(3x+5)
=3x^3+14x^2+21x+10
という整式になります。
ですから、これを(3x+5)で割ってみて、上手に因数分解できればいいわけです。

３　　　　１４　　　　２１　　　　１０　　　｜－５／３

　　　　　－５　　　　－１５　　　－１０
--------------------------------------------
３　　　　　９　　　　　６　　　　　０

となるので、割り切れました！！

これは、組立除法により、

3x^3+14x^2+21x+10=(3x^2+9x+6)(x+5/3)・・・（★）
のように因数分解できたことを示しています。

(3x^2+9x+6)=3(x^2+3x+2)=3(x+1)(x+2)
と因数分解されることを考えれば
（★）式は、

3x^3+14x^2+21x+10=(3x^2+9x+6)(x+5/3)=(x+1)(x+2)(3x+5)

となってめでたく因数分解できましたね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください！

http://www.e-t.ed.jp/edotori41/wan13.htm

参考URL：

http://www.e-t.ed.jp/edotori41/wan13.htm

お礼

実際に例をだして教えてくだっさってありがとうございます。丁寧な説明でうれしかったです。URLにも行ってみようと思います。ありがとうございました。

回答No.3

kony0

#1さんと同じことの繰り返しになりますが・・・

「ex-kで割る」ということを、「x-(k/e)で割って、さらにeで割る」と考えてあげればよいのです。

つまり、まずはx-(k/e)で割るのを組み立て除法で行い、その商をQ(x), 余りをRとしましょう。
→f(x)=(x-(k/e))Q(x)+R

あとは、Q(x)を、「Q(x)の各係数をeで割ったものQ'(x)」とeの積ととらえます。（(1/e)×eを掛けるという意味です）
→f(x)=(x-(k/e))*{e*Q'(x)}+R
→f(x)=(ex-k)Q'(x)+R

日本語でかくと、何言ってるのかわかりにくいのですが、#2さんの（★）の式(3x^2+9x+6)を3(x^2+3x+2)にする作業・・・のことであり、至極自然な発想です。

機械的に「x-(k/e)で割って、商だけeで割る、余りはそのまま」と覚えるのは、私的には趣味ではありません。ここは道理をおさえておくべしと思料。

お礼

確かにkony0さんの言うとおり機械的ではいけないと思います。みなさんのおかげで、なぜそのように計算するのか理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

akito2123

P(x)=ax^3+bx^2+cx-dとおき、P(k/e)にすれば普通にできます。でも、そのとき商はe倍されているので、最後に商をeで割らなければいけません。
っていうのも、
P(x)=e(x-k/e)Q(x)+R、つまり、
P(x)=(x-k/e)eQ(x)+Rと考えているからです。だから、余りはそのままです。

お礼

e倍されているというのが、とてもしっくりきました。
わかりやすい御説明ありがとうございます