関数の計算と実数解の数

質問

” ２つの関数 f(x) 、 g(x) は次を満たすとする。ただし、aは正の定数である。
f(x) = x^2 + ( a + 1 ) x + a + 2
g(x) = x^2 + ( a + 2 ) x + a + 1
方程式
f ( g ( x ) ) - g ( f ( x ) ) = 0
がちょうど2個の実数解をもつとき、aの値を求めよ。”

この問題なのですが、どのように解いていけば良いか分かりません。
直接入れて計算するにも、計算が煩雑になってしまいます。
他に解き方はあるのでしょうか。ご教授願います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>直接入れて計算するにも、計算が煩雑になってしまいます。
これを避けて通れません。
この位の計算は面倒がらずやってください。

>他に解き方はあるのでしょうか。
無いと思います。

f(g(x))-g(f(x)) = 2x^3 +2ax^2 -4a-5 = 0
h(x)= 2x^3 +2ax^2 -4a-5
とおくと
y切片は　h(0)=-4a-5<0 (∵a>0)
h(√2)=4√2 -5(≒0.65…)＞0
なので　0<x<√2 の間に実数解を持つ …(1)。

h'(x)=6x(x+(2a/3))
a>0 かつ h(x)のx^3の係数2>0 なので
x=-2a/3で極大値h(-2a/3)=(8/27)a^3 -4a-5=(2/27)(a+3/2)(4a^2 -6a-45)　…(2)
x=0で極小値h(0)=-4a-5
を持つ。

h(x)=0は2個の実数解を持つ為には、(1)で実数解を持つから
(2)の極大値h(-2a/3)=(2/27)(a+3/2)(4a^2 -6a-45)=0 であればよい。
a>0の解は　a=3(1+√21)/4 …（答）

[確認]
「a=3(1+√21)/4」の時 h(x)=0の２つの実数解は
　x=-2a/3=-(1+√21)/2
と(1)の実数解
　x=(1/8)(3√{2(11+√14)}-1-√21)　
の2個になる。

回答No.3

mister_moonlight

f ( g ( x ) ) - g ( f ( x ) ) = 0 を求める計算は正直にやる以外にないだろう。
問題は、その後の処理。

計算した式を、Ｆ(x)= 2x^3 +2ax^2 -4a-5　とする。
これがちょうど2個の実数解を持つのは、(極大値)*(極小値)＝0のとき。つまり、極大値　か　極小値　が　x軸に接するとき。
Ｆ´(x)=2x(3x+2a)だから、Ｆ(0)* Ｆ(-2a/3)＝0　これを解くだけ。

(注)
3次方程式が
(1)　3つの異なる実数解を持つ条件は、(極大値)*(極小値)＜0
(2)　2つの異なる実数解を持つ条件は、(極大値)*(極小値)＝0
(3)　実数解を1個のみ持つ条件は、(極大値)*(極小値)＞0

という事は、高校の教科書に載ってるはず。
分からなければ、3つの場合のグラフを書いてみれば　すぐ分かる事。

回答No.1

hrsmmhr

f(g(x))-g(f(x))=0
{g(x)}^2-{f(x)}^2+(a+1){g(x)-f(x)}-f(x)+1=0
{g(x)+f(x)}{g(x)-f(x)}+(a+1){g(x)-f(x)}-{x^2+(a+1)x+(a+1)}=0
{2x^2+(2a+3)(x+1)}(x-1)+(a+1)(x-1)-x^2-(a+1)(x+1)=0
2x^3-2x^2+(2a+3)(x^2-1)-x^2-2(a+1)=0
2x^3+2ax^2+1=0