２次関数の実数解

質問

f(t)=t^2+2at+3a　《tの存在範囲はt≧2,t≦-2でありaは定数》という式でf(t)=0が少なくとも１つの実数解を持つとき定数aのとりうる範囲を求めよ。　

という問題でaが普通の数字であれば解けるのですが、文字になったとたんさっぱりわからなくなりました。判別式でやろうにも解けませんしお手上げ状態です…どなたか教えていただけないでしょうか？

続く問題がf(t)=0は最大で何個の実数解をもつかなのですが、これは自分で解きたいのでヒントをお願いできないでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight

＞他に簡単な解法があるんだが

条件の方程式をt＾2＝-2at-3a＝-2a（t＋1/3）と変形して、放物線：y＝t＾2のグラフと、直線：y＝-2a（t＋1/3）の交点の数を、｜t｜≧2の範囲で考えるだけ。
点（2、4）、と、点（-2、4）を通る時の直線の傾きを考えれば、交点が1個の場合でも、2個の場合でも、一挙に解決するだろう。

他にも解法があるが、それは止めとく。
こういう問題は、常に“グラフを使う事”を意識しておくと良い。勿論、計算だけでも解けるが。。。。。
グラフを使う方が、視覚的に間違いを防げるし、時として計算や思考が簡単になる場合が多い。

回答No.2

mister_moonlight

他に簡単な解法があるんだが、取り敢えずはorthodoxに解いてみよう。

f(t)＝t^2+2at+3a＝（t＋a）＾2＋3a-a＾2＝0が、｜t｜≧2に少なくても1つの実数解を持てばよい。従って、条件を満たす解が1つも、2でも良い事に気が付かなければならない。
(1)　f(t)＝0　が　｜t｜≧2　に2つの実数解を持つ時
判別式≧0　、f(2)≦0、f(-2)≦0、軸が　t＝-aであるから　｜-a｜≧2
(2)　f(t)＝0　が　｜t｜≧2　に1つの実数解を持つ時
f(2)*f(-2)≦0

以上、(1)と(2)の時のaの共通範囲を求めると良い。
実際の計算は自分でやって。

＞続く問題がf(t)=0は最大で何個の実数解をもつかなのですが、これは自分で解きたいのでヒントをお願いできないでしょうか？

条件の方程式をt＾2＝-2at-3a＝-2a（t＋1/3）と変形して、放物線：y＝t＾2のグラフと、直線：y＝-2a（t＋1/3）の交点の数を、｜t｜≧2の範囲で考えるだけ。
直線：y＝-2a（t＋3/2）は定点（-3/2、0）を通り、傾きが　-2a　の直線である事に注意すれば、答は自明だろう。

お礼

こちらに解答させていただきます。
分かれば単純に解けるんですね！ありがとうございます。

回答No.1

Trick--o--

f(t)=0が少なくとも１つの実数解を持つとき
判別式 D = (2a)^2 - 4*1*3a
となる

D ≧ 0
の不等式を解けば、aの範囲は求められます

お礼

解法ありがとうございます！がんばってみます。