部分空間について

質問

線形代についてでわかる人お願いします。
V=R二乗とする。以下の部分集合はVの部分空間か？
部分空間である場合は証明し、そうでない場合は理由を述べよ。
(1) W1＝{x∈V｜x1=0}
(2) W2＝{x∈V｜x1=1}
(3) W3＝{x∈V｜x1の二乗=0}
お願いします

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

とりあえず、「部分空間」の定義を補足に書いてごらん。
それを知っていれば、ほぼ自明な問題。
知らなければ、それは大変なことだから、必ず本で調べて
確認しておかなければならない。
教科書のわりと最初のほうに書いてあるはずだし、
目次に「部分線型空間」または「部分ベクトル空間」の
見出しがなければおかしい。

補足

定義
(1)x,y∈Wならばx+y∈W　(2)k∈K、x∈Wならばkx∈W
となっているのですが、教科書を見てもどういう風に証明すればいいのかわかりません。

回答No.2

Pawn_chess

W1の要素はR^2の要素であることから(x1,x2) のようなベクトルの形をしています。
更に条件x1=0 から推測できることは(0,x2) のようなベクトルだということです。-----------(0)
ここでx2はRの要素なので実数です。

ではあなたが調べてきた条件をチェックしてみましょう。

W1が部分空間であることをあなたが調べた条件に言い換えると

x,y∈W1 ならば x+y∈W1 ---------------- (1)
かつ
x∈W1, c∈R ならば cx∈W1 ------------- (2)

です。
(1)を(0)の情報を利用してもう少し噛み砕きましょう。
x,y∈W1 というのは x=(0,x2),y=(0,y2) という形をしているのだということを言っています。
ここでx2,y2∈R です。
このとき x+y∈W1 が言えれば良いのです。
x+y∈W1も(0) の情報を利用してもう少し噛み砕きましょう。
x+y=(0,z2) という形になっているということです。

全部を置き換えると、(1) は次のような主張に言い換えができるでしょう。

x=(0,x2),y=(0,y2) ならば x+y=(0,z2) --------------------- (1')
ここでx2,y2,z2∈R

(1') が正しいなら(1) が正しくなります。
x=(0,x2),y=(0,y2) より x+y=(0,x2+y2) ですから x2,y2∈R より x2+y2∈R です。
つまりz2=x2+y2 を選んで来たらOKです。(1') が成立したので(0)により(1)が成立しました。

同じように(2)の式を(0)を使って翻訳してみてください。何を示せば良いのかが理解できるでしょう。

わかったら、是非同じような疑問を持った方のためにもあなた自身で考えた回答をここにコメントしてください。

お礼

x,y∈W1とするとx=(0,x2),y=(0,y2)ならば
x+y∈W1でx+y=(0,z2)となる。
x∈W1,c∈Rとするとx=0,c=z2ならば
cx∈W1でcx＝(0,z2)となる。
2つの条件が満たされているので部分空間である。

こんな感じでいいんでしょうか。
夜遅くに回答して頂きどうもありがとうございました。
私は理解力が低いのですが、わかりやすい解説でした。