部分空間についての質問です

質問

多項式の集合で作られる線形空間 P₂(K) = {f(x) = a₀ + a₁x + a₂x²│ a₀, a₁, a₂ ∈ K}
の部分集合W = { f(x) ∈ P₂(K) | f(2) = 0 } が与えられたとき、集合 W が P₂(K) の部分空間となるかどうかを確かめよ
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

多項式の集合で作られる線形空間
P_2(K)={f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 | a_0,a_1,a_2∈K}
の部分集合
W={f(x)∈P_2(K) | f(2)=0 }

f(x)∈W
g(x)∈W
とすると
f(x)∈P_2(K)
f(2)=0
だから
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2
となる
a_0,a_1,a_2∈K
がある
g(x)∈P_2(K)
g(2)=0
だから
g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2
となる
b_0,b_1,b_2∈K
がある

f(x)+g(x)
=a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2
=a_0+b_0+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2

a_0∈K,b_0∈K→a_0+b_0∈K
a_1∈K,b_1∈K→a_1+b_1∈K
a_2∈K,b_2∈K→a_2+b_2∈K
だから
f(x)+g(x)∈P_2(K)

f(2)=0,g(2)=0→f(2)+g(2)=0+0=0
だから
f(x)+g(x)∈W

r∈K
f(x)∈W
とすると
f(x)∈P_2(K)
f(2)=0
だから
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2
となる
a_0,a_1,a_2∈K
がある
rf(x)=ra_0+ra_1x+ra_2x^2
r∈K,a_0∈K→ra_0∈K
r∈K,a_1∈K→ra_1∈K
r∈K,a_2∈K→ra_2∈K
だから
rf(x)∈P_2(K)
f(2)=0→rf(2)=r*0=0
だから
rf(x)∈W
だから
WはP_2(K)の部分空間となる

お礼

理解できました！ありがとうございます！