微分

質問

次の問題を教えてください
１)ｘ＾ｍ (ａｘ+ｂ)＾ｎを微分せよ
ｙ’＝(ｘ＾ｍ)’(ａｘ+ｂ)＾ｎ+ｘ＾ｍ{(ａｘ+ｂ)＾ｎ}’
＝ｍ・ｘ＾(ｍ－１)・(ａｘ+ｂ)＾ｎ+ｘ＾ｍ・ｎ(ａｘ+ｂ)＾(ｎ－１)・ａになりました。教科書の答えは、{(ｎ+ｍ)ａｘ+ｍｂ}・ｘ＾(ｍ－１)・(ａｘ+ｂ)＾(ｎ－１)になっています。どうやってやるんでしょうか。
２)

回答No.2

sanori · ベストアンサー

ｚ　＝　ａｘ＋ｂ
ｕ　＝　（ａｘ＋ｂ）^n　＝　ｚ^n
と置けば、
ｄｕ／ｄｚ＝　ｎｚ^(n-1)
ｄｚ／ｄｘ　＝　ａ

合成関数の微分
ｕ’＝　ｄｕ／ｄｘ
　＝　ｄｕ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
　＝　ｎｚ＾（ｎ－１）・ａ
　＝　ａｎ（ａｘ＋ｂ）＾（ｎ－１）

｛ｘ＾m・ (ａｘ+ｂ)^n｝’
　＝　ｘ^m・ｕ’　＋　（ｘ^m）’・ｕ
　＝　ｘ^m・ａｎ（ａｘ＋ｂ）^(n-1)　＋　ｍｘ^(m-1)・（ａｘ＋ｂ）^n

ｘ^(m-1)・（ａｘ＋ｂ）^(n-1)　でくくると、

　＝　ｘ^(m-1)・（ａｘ＋ｂ）^(n-1)・｛ｘａｎ＋ｍ（ａｘ＋ｂ）｝
　＝　ｘ^(m-1)・（ａｘ＋ｂ）^(n-1)・｛ｘａｎ＋ｍａｘ＋ｂｍ｝
　＝　ｘ^(m-1)・（ａｘ＋ｂ）^(n-1)・｛（ｍ＋ｎ）ａｘ＋ｍｂ｝

合成関数の微分、というところがポイントでした。

回答No.1

noname#56760

ｙ’＝ｍ・ｘ＾(ｍ－１)・(ａｘ+ｂ)＾ｎ+ｘ＾ｍ・ｎ(ａｘ+ｂ)＾(ｎ－１)・ａ
=ｍ・ｘ＾(ｍ－１)・(ａｘ+ｂ)(ａｘ+ｂ)＾(ｎ-1)+xx^(ｍ-1)・ｎ(ａｘ+ｂ)＾(ｎ－１)・ａ
=x^(m-1)(ax+b)^(n-1){m(ax+b)+anx}
={(ｎ+ｍ)ａｘ+ｍｂ}・ｘ＾(ｍ－１)・(ａｘ+ｂ)＾(ｎ－１)

x^(m-1)(ax+b)^(n-1)でくくります。