整数の問題

質問

自然数abcが
3a=b^3
5a=c^2
を満たし、d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする。

（1）
aは3と5で割り切れることを示せ
（2）
aの素因数は3と5以外にないことを示せ
（3）
aを求めよ

（1）は自力で出来ました。
d^6が――の条件が上手く使えていないのか、（2）以降が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

happy_yuppie · ベストアンサー

b,cが自然数であるからx,yが自然数であることが言え、
x,yが自然数であるからu,vが自然数であることが言える。

（１）
3a=b^3 より、xを自然数として a=3^2*x^3 と表せる。よって3で割れる。
5a=c^2 より、yを自然数として a=5*y^2 と表せる。よって５で割れる。

（２）
(1)より、a=3^2*x^3=5*y^2 を満たす自然数x,yを考える。
u,vを自然数として、
x=5*u, y=3*5*v
と表せるから、
a = 3^2*5^3*u^3
a = 3^2*5^3*v^2
となる。自然数wを用いて w = u^3 = v^2 とおくと、
a = 3^2*5^3*w

自然数u,vが
u^3 = v^2
を満たすにはu=v=1がある。
それ以外のものは、uは素因数に同じものを2の倍数個、vは素因数に3の倍数個
含まなければならない。
つまり、wが同じ素因数を６個以上含むことになる。
これはd^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限ることに違反する。（補足１）

よってu=v=1が条件を満たす唯一の解である。
a = 3^2*5^3
より、aの素因数は3と5以外にない。

（３）
(2)より、a=1125

（補足１）
自然数dでaを割り切るd^6≠1が存在する⇔aに同じ素因数dが6個以上ある
自然数dでaを割り切るd^6≠1が存在しない⇔aに同じ素因数dは6個未満である

回答No.1

Tacosan

(2) は「3 と 5 以外の素因数がある」と仮定してみればいいんじゃない?
(3) は a を素因数分解した結果を仮定してホゲる.