整数問題

質問

a+b+c+d=abcdを満たす正の整数a,b,c,dを求めよ。
a≧b≧c≧dとして、a,b,c,d＝４２１１となったのですが、a,b,c,dは対称であり、a,b,c,dをどのように決めようと、変わらないとあるのですが、どういうことでしょうか?
わたしはa≧b≧c≧d、について、４２１１の組み合わせは変わらず、aがa≧c≧b≧dなどをかんがえて、４２１１、４１２１、４１１２があり、ｂ≧ｃ≧a≧ｄを考えて、、、としていったのですが、上で書かれているのはどういうことなのでしょうか？

回答No.5

QoooL · ベストアンサー

＃１です、補足に回答いたします。

＞　私のような初心者は例えば、a,bの大小関係なら、(ア）a>b,a=b,a<bもしくは、（イ）a≧b,a＜bもしくは、（ウ）a≦ｂ、a>bのように、きちんと条件の棲み分けがなされているかが気になってしまう

おっしゃることはよくわかります。気にする習慣はとても大事ですね。

でも着目しているところが　「そうじゃない」　のですよ。
a≧b≧c≧d　の次に
ｂ≧a≧c≧d　を考える場合に、
　　　ん？　一度　a≧b　（等号含む）を考えているから、次は　a＜b　（b＞a）　か？
ということですよね。
そうじゃありません。

一度　a≧b≧c≧d　について考えたら、もう二度と、ｂ≧a≧c≧d　などを考える「必要がない」　のです。

これは、a≧b≧c≧d　と書いているから混乱させやすいのだと思います（でも多くの問題集の解答が、このように仮定するのですけれどね）。

ｐ≧ｑ≧ｒ≧ｓ　と書きましょう！
まず、ａ、ｂ、ｃ、ｄに関係なく、数字の組み合わせだけ探します。

すると、
（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ）＝（４，２，１，１）
というような組み合わせがいくつか出てきます。

次に
ａ＝ｐ
ｂ＝ｑ
ｃ＝ｒ
ｄ＝ｓ
の場合、

ａ＝ｐ
ｂ＝ｑ
ｃ＝ｓ
ｄ＝ｒ
の場合、

ａ＝ｐ
ｂ＝ｒ
ｃ＝ｑ
ｄ＝ｓ
の場合、

・・・など、
この４つの変数がどれに対応するか、の順列を考えるのです。
だから　２段階で考える、と前回の回答に書きました。
厳密には　a≧b≧c≧d　ではないんですよ。
　　　４つの数字に　大きい方から　ｐ，ｑ，ｒ，ｓ　と呼ぶ　みたいなルールを付ける
ことによって、
　　　全～部の場合を考えなくても良いような、楽をしてる
というわけです。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．２です。

うわ～、まずった＾＾；　

フォロー感謝　ｍ（＿　＿）ｍ
(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

回答ありがとうございました

補足

しばらく自分でも考えたり、参考書をしらべたりしたことをまとめ、まだ疑問点があるので、質問させてください。
a+b+c+d=abcdはa,b,c,dについての対称式なので、a,b,c,dの立場を自由に入れ替えられる。
たとえば、aとｃをいれかえても、ｃ≧b≧a≧dのとき、c+b+c+d=cbadで成り立つ。
同様にして、自由に入れ替えられるから、本問は｛４，２，１，１｝を並べ替えたパターンを列挙すればよい。
（疑問）
条件の意味について、疑問点があるのですが、本問では、最初に、、a≧b≧c≧dのとき、a+b+c+d=abcdを成り立たせる自然数を求め、そのあと、a+b+c+d=abcdの対称性を利用して、a≧b≧c≧dを自由に入れ替えて、解を求めました。a≧b≧c≧dはa>b>c>dとは異なり、間にイコールが入ってもよい条件です。
私のような初心者は例えば、a,bの大小関係なら、(ア）a>b,a=b,a<bもしくは、（イ）a≧b,a＜bもしくは、（ウ）a≦ｂ、a>bのように、きちんと条件の棲み分けがなされているかが気になってしまうのですが、
（エ）a≦ｂ、a≧bのように、ダブルカウントされる形（本問の場合、a≧b≧c≧dとして、つぎにｂ≧a≧c≧dなどとする）、で、分けてもよいのでしょうか？

回答No.3

stomachman

> ４２１１の組み合わせは変わらず、
と仰る通り。これをもうちょっと厳密に言うなら、（「a≧b≧c≧d、について」じゃ駄目で）
　　a,b,c,dを大きさの順に並べた列は < 4, 2, 1, 1 > である。
ということです。
　もし問題が（aだのbだの言わずに）「４個の正の整数であって、それらの和がそれらの積に等しいものは何か？」というのであれば、答は「それらの整数は4, 2, 1, 1である」で文句なしのオッケーですね。この答は、どの整数にどんな名前 (aだのbだの）を付けるかということとは関係がない。
　で、これこそが「a,b,c,dをどのように決めようと、変わらない」というへたくそな説明の意味するところでしょう。すなわち「決めようと」というのは、「a,b,c,dをナニであると決めようと」というよりも、「4個の整数のうちのどれにどんな名前 (aだのbだの）を対応させると決めようと」ということです。

No.2さんへ
　残念ながら
> ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝＝｛４，２，１，１｝
じゃ落第です。なぜなら
　　｛４，２，１，１｝＝｛４，２，１｝
ですから。外延の公理をご確認あれ。

お礼

回答ありがとうございました

補足

しばらく自分でも考えたり、参考書をしらべたりしたことをまとめ、まだ疑問点があるので、質問させてください。
a+b+c+d=abcdはa,b,c,dについての対称式なので、a,b,c,dの立場を自由に入れ替えられる。
たとえば、aとｃをいれかえても、ｃ≧b≧a≧dのとき、c+b+c+d=cbadで成り立つ。
同様にして、自由に入れ替えられるから、本問は｛４，２，１，１｝を並べ替えたパターンを列挙すればよい。
（疑問）
条件の意味について、疑問点があるのですが、本問では、最初に、、a≧b≧c≧dのとき、a+b+c+d=abcdを成り立たせる自然数を求め、そのあと、a+b+c+d=abcdの対称性を利用して、a≧b≧c≧dを自由に入れ替えて、解を求めました。a≧b≧c≧dはa>b>c>dとは異なり、間にイコールが入ってもよい条件です。
私のような初心者は例えば、a,bの大小関係なら、(ア）a>b,a=b,a<bもしくは、（イ）a≧b,a＜bもしくは、（ウ）a≦ｂ、a>bのように、きちんと条件の棲み分けがなされているかが気になってしまうのですが、
（エ）a≦ｂ、a≧bのように、ダブルカウントされる形（本問の場合、a≧b≧c≧dとして、つぎにｂ≧a≧c≧dなどとする）、で、分けてもよいのでしょうか？

回答No.2

B-juggler

ほとんど話されていますので、簡単にね。

対称性って言葉なんでしょうね。ひっかかってあるのは。

｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝＝｛４，２，１，１｝　これで答えは終わりです。

　＃　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）　としたらだめですよ～、ベクトルかもしれないから。

理由は簡単です。もう説明してあるので。

ａ＝１　だろうが、ａ＝４だろうが、ほかの数字とのかねあいがしっかりしていれば

問題はありません。

両辺とも　８　になる組み合わせをとっていさえすれば、回答としては成立しますからね。

どうかな？　ａ，ｂ，ｃ，ｄ　の区別はあまり重要じゃないってことかな？

書き方ちょっと気をつけてね。４２１１　４０００＋２００＋１０＋１　ではないからね。

４，２，１，１　こう書いておけば間違いはないですね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

QoooL

＞　a+b+c+d=abcdを満たす正の整数a,b,c,dを求めよ。

を解くときに、全部考えていたらきりがないですね。

例えば、「６０円を２人で山分けする。分け方は何通り考えられるか」と聞かれて、
　　１円と５９円、
　　２円と５８円、
　　…
と具体的に考えていくとき、
　　５９円と１円、
まで馬鹿正直に数えますか？
私だったら、
　　３０円と３０円、
まで来た時点で、
　　後は一緒　　３１円と２９円は、２９円と３１円の逆、
と考えます。

そこで
＞　a+b+c+d=abcdを満たす正の整数a,b,c,dを求めよ。
では、一番大きい数をａとして、二番目に大きい数をｂとして、…
とおいても問題を解くのに支障はないのです。
a≧b≧c≧dとおいたなら、a,b,c,d＝４２１１　が得られてから、←第１段階
a≧b≧c≧dの条件を外して、４２１１　があるなら 2 4 1 1 もあるし 1 4 2 1 もあるし…、←第２段階
ということを考えれば良いのです。

a≧c≧b≧dなどを考えて解いてみた、とおっしゃていましたが、
a≧b≧c≧dのときと同じような考え方が出てきませんでしたか？
それならそもそも、a≧c≧b≧dとおく意味がなくないですか？

大小の条件を付けなくてしんどくないなら、最初から　a≧b≧c≧d　や　a≧c≧b≧d　という条件を付けなければ良いのですよ。解答でa≧c≧b≧dとしているのは、
　　「第１段階」「第２段階」という２段に分けることによって楽をするための手抜きテクニック
です。
a≧b≧c≧d　とおくのは必須ではありませんよ。a≦b≦c≦dでも別にかまいません。

ただ単に、場合分けするときに全部考えるとしんどいから、「別に一時的にこうおいても、あとで（第２段階で）入れ替えれば同じことだよね」　という手法です。

なんでもそうですけど、「まずは何何とおいてみる」として解いて、後から「何何以外の場合にはどうなるか」と考えるのは、数学的な思考手順です。
ご納得いただけましたか？

お礼

解答ありがとうございました。

補足

しばらく自分でも考えたり、参考書をしらべたりしたことをまとめ、まだ疑問点があるので、質問させてください。
a+b+c+d=abcdはa,b,c,dについての対称式なので、a,b,c,dの立場を自由に入れ替えられる。
たとえば、aとｃをいれかえても、ｃ≧b≧a≧dのとき、c+b+c+d=cbadで成り立つ。
同様にして、自由に入れ替えられるから、本問は｛４，２，１，１｝を並べ替えたパターンを列挙すればよい。
（疑問）
条件の意味について、疑問点があるのですが、本問では、最初に、、a≧b≧c≧dのとき、a+b+c+d=abcdを成り立たせる自然数を求め、そのあと、a+b+c+d=abcdの対称性を利用して、a≧b≧c≧dを自由に入れ替えて、解を求めました。a≧b≧c≧dはa>b>c>dとは異なり、間にイコールが入ってもよい条件です。
私のような初心者は例えば、a,bの大小関係なら、(ア）a>b,a=b,a<bもしくは、（イ）a≧b,a＜bもしくは、（ウ）a≦ｂ、a>bのように、きちんと条件の棲み分けがなされているかが気になってしまうのですが、
（エ）a≦ｂ、a≧bのように、ダブルカウントされる形（本問の場合、a≧b≧c≧dとして、つぎにｂ≧a≧c≧dなどとする）、で、分けてもよいのでしょうか？