整数問題 お願いします！

質問

初めての質問です、至らぬところがあればごめんなさい。
では、よろしくお願いします＾＾

問。
４つの愛顧となる自然数があり、この中から二つを組み合わせて和をとったところ、
７，１１，１２，１３，１７が得られた。四つの自然数の積はいくらか。

　　見づらい図で申し訳ないのですが下記まではわかるのです、
　　Ｂ＋Ｃ＝１２となることがどうも理解できなくて＞＜

　　　　　 －－－１１－－
　　　　　 －７－　　　　
　　　　　Ａ　＜　Ｂ　＜　Ｃ　＜　Ｄ
　　　　　　　　　　－－－１３－－
　　　　　－－－－－１２－－－－

　　もう少しわかりやすい考え方等あれば教えてください。
　　よろしくお願いします＾＾

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

４つの相異なる自然数をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすれば、二つを組み合わせて和は次の６通りあります。
Ａ＋Ｂ、Ａ＋Ｃ、Ａ＋Ｄ、Ｂ＋Ｃ、Ｂ＋Ｄ、Ｃ＋Ｄ
この中から２つづつ組み合わせた次の和はすべて同じ数になります。
（Ａ＋Ｂ）＋（Ｃ＋Ｄ）
（Ａ＋Ｃ）＋（Ｂ＋Ｄ）
（Ａ＋Ｄ）＋（Ｂ＋Ｃ）

７，１１，１２，１３，１７の中で、２つづつの和が同じになるのは、
７＋１７＝２４
１１＋１３＝２４
１２＋１２＝２４
の組み合わせだけです。

よって、Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄとすれば、
（Ａ＋Ｂ）＋（Ｃ＋Ｄ）＝７＋１７＝２４
（Ａ＋Ｃ）＋（Ｂ＋Ｄ）＝１１＋１３＝２４
（Ａ＋Ｄ）＋（Ｃ＋Ｂ）＝１２＋１２＝２４

お礼

似通った問題と照らし合わせながらようやく理解できました、やった～＾＾
何よりもすばやく回答していただけたことに人の優しさを感じました、
シンプル且つすばやかったのでベストアンサーとさせていただきます
ありがとうございましたｗｗｗ

回答No.5

3cmp66p2

一生懸命考えてみました。楽しい問題ですね！

お礼

お礼が遅くなってごめんなさい。

数学に対して拒絶反応する傾向があり、取り掛かることにも躊躇していましたが
似通った問題と照らし合わせてようやく理解することが出来ました。
また手書きでご丁寧にありがとうございます、全部を振り返ってみて
一番わかりやすかったように感じました。
ベストアンサーはすばやさで一番最初の方にさせていただいたのですが
またの機会があれば是非お願いします＾＾

ありがとうございました＾＾

回答No.4

mister_moonlight

計算ミスにつき、訂正。。。。。ｗ

＞(2)　x+w＝13、y+z＝12、y+w＝11、z+w＝7　のとき、これを連立して解くと、(x、y、z、w)＝(10、8、4、3)　→　xyzw＝960.

(正)(2)　x+w＝13、y+z＝12、y+w＝11、z+w＝7　のとき、これを連立して解くと、(x、y、z、w)＝(9、8、4、3)　→　xyzw＝864.

お礼

お礼が遅くなってごめんなさい、
似通った問題と照らし合わせてようやく理解できました、
数字アレルギーなんでしょうね、たくさんの英数字に圧倒されましたが
ここまで書けるところがすばらしいです、
（どのようにすればそうなれるのでしょうか？子育て中なのですごく興味深いです＾＾）

でも解けてすっきり！ありがとうございました＾＾

回答No.3

mister_moonlight

＞もう少しわかりやすい考え方等あれば教えてください。

模範解答の方がsimpleなんだが、それ以外に方法がないわけでもない。
少し、手間がかかる事は承知の上で、やってみよう。

4つの自然数を　x、y、z、w　(但し、x＞y＞z＞w≧1)とする。
これは、x+y、x+z、x+w、y+z、y+w、、z+w の6通りの組み合わせがある。
x+y＞x+z、x+z＞x+w、x+z＞y+z、y+z＞y+w、y+w＞z+w　だが、x+w　と　y+z　の大小で、次の2つの場合が考えられる。
(Ａ)　x+y＞x+z＞x+w＞y+z＞y+w＞z+w　
(Ｂ)　x+y＞x+z＞y+z＞x+w＞y+w＞z+w　

13、12、11　との差が1の整数が連続しているから、2数の和の整数も連続しており、又、その3数は17と7にはなれないから次の場合に限定される。

(Ａ)　x+y＞x+z＞x+w＞y+z＞y+w＞z+w　の場合

(1)　x+z＝13、x+w＝12、y+z＝11、x+y＝17　のとき、これを連立して解くと、満たす整数値はない。
(2)　x+w＝13、y+z＝12、y+w＝11、z+w＝7　のとき、これを連立して解くと、(x、y、z、w)＝(10、8、4、3)　→　xyzw＝960.

(Ｂ)　x+y＞x+z＞y+z＞x+w＞y+w＞z+w　の時

(1)　x+y＝17、x+z＝13、y+z＝12、x+w＝11　の時　これを解くと　x＞y＞z＞w を満たす整数値はない。
(2)　y+z＝13、x+w＝12、y+w＝11、z+w＝7　の時　これを解くと　x＞y＞z＞w を満たす整数値はない。

以上から、求めるものは、、(x、y、z、w)＝(10、8、4、3)　→　xyzw＝960。

回答No.2

Sinogi

Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ　の　異なる自然数から選んだ２数の和が　７，１１，１２，１３，１７　の５パターンであるから　

Ａ+Ｂ=７ （最小和）　より　(Ａ,B)の候補は(3,4) (2,5) (1,6)
Ｃ+Ｄ=17　（最大和）　より　(C,D)の候補は(8,9) (7,10) (6,11) ・・・・

Ａ+Ｄ=B+C=12 (中間値)とすると

異なる自然数の組合せは　（3,4,8,9)　(2,5,7,10)　のいずれか

あとは　11　13　の和を得られる２数がある方が目的の４数なので積を求めればよい

お礼

お礼が遅くなってごめんなさい、
ほかの方とは違った考え方ですが、少し違った視点から見れば
意外とわかりやすいかも＾＾

解けてすっきりしました、
ありがとうございました＾＾