整数問題

質問

a^3＋２b^3＋４c^3－６abc＝０について
a.b.cの偶奇に注目することによって
a=b=c=0であることを示せ。

という問題です。
解答よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

少し、形式を整えてみると…

a = b = c = 0 以外の解のうち、
｜a｜+｜b｜+｜c｜ が最小のもの(のひとつ)を
a = A, b = B, c = C と置く。
A No.1 の議論により、
a = A/2, b = B/2, c = C/2 も解になるから、
｜A｜+｜B｜+｜C｜ が ｜a｜+｜b｜+｜c｜ の
最小値であることに反する。
よって、背理法により、a = b = c = 0 以外には解は無い。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

hrsmmhr

a,b,c!=0とする
a=2^kA, b=2^lB, c=2^mC :A,B,Cは奇数とおけ
6abc=2^(k+l+m+1)*(3ABC)
a^3+2b^3+4c^3
=2^(3k)*[A^k+2^{3(l-k)+1}B^l+2^{3(m-k)+2}C^3] :3k=min(3k, 3l+1, 3m+2)のとき
=2^(3l+1)*[2^{3(k-l)-1}A^k+B^l+2^{3(m-l)+1}C^3] :3l+1=min(3k, 3l+1, 3m+2)のとき
=2^(3m+2)*[2^{3(k-m)-2}A^k+2^{3(l-m)-1}B^l+C^3] :3m+2=min(3k, 3l+1, 3m+2)のとき

3k<3l+1, 3m+2なら k+l+m+1>3kで矛盾（２の次数の不一致）
3l<3k-1, 3m+1なら k+l+m+1>3l+1で矛盾
3m<3k-2, 3l-1なら k+l+m+1>3m+2で矛盾
従ってa=b=c=0

お礼

ありがとうございました

回答No.3

naniwacchi

#1です。
返答遅くなって済みません。

＞「ふりだしに戻る」からa=b=c=0でよいのでしょうか???
いきなり、このような書き方をしてしまうと×になってしまいますよね。
ふりだしに戻るということは、
a＝ 2Aと置いた Aについてまた A＝ 2A 'と置けることになります。
つまり、a＝ 2^2* A 'ということです。

これを堂々めぐりしていくことになり、
aが 0でないとすると aはどんどん大きくなっていくだけで値が定まらなくなります。
（a＝ 2^n* (なんとか)の形になる）
背理法になりますね。
以下、bと cについても同様です。

と考えました。

回答No.2

alice_44

ふりだしに戻ったところで…
この方程式の a = b = c 以外の解に対する
|a| + |b| + |c| の値の集合が、
空集合でないとすれば、
自然数の集合でありながら最小値を持たない
ことになり、矛盾します。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
まずは、「a.b.cの偶奇に注目することによって」というヒントを
そのまま考えてみればいいのでは？

元の式では、a^3以外の項はすべて偶数になります。
ということは、aは偶数でなければなりません。

そこで a＝ 2Aと置いて、元の式に代入します。
代入した式を整理すると、また偶数でないといけない文字が現れます。
以下、繰り返していくと、「ふりだし」に戻ってしまいます。

補足

解答ありがとうございます。
「ふりだしに戻る」からa=b=c=0でよいのでしょうか???