高校数学の整数問題です。

質問

正の整数a、b、c はすべて1と異なり、どの2つとも等しくなく
　　2abc = 2a + 5b + 10c ……(1)
であるとき、a、b、c の値を求めなさい。ただし、a、b、c の中では c を最大数とします。

　　a≧3 かつ b≧3
とすると
　　左辺 = 2abc ≧ 2*3*3c = 18c
　右辺については
　　a = b = c ⇒ 2a + 5b + 10c = 2c + 5c + 10c = 17c
だが、実際には a < c、b < c なのだから
　　右辺≦17c
なので(1)を満たす解は存在しない。

　　a = 2 または b = 2
のときをそれぞれ確認する。
ⅰ)a = 2 の場合
　　4bc = 4 + 5b + 10c
　　4bc - 5b - 10c
　= b(4c-5) + 10c = 4 ……(2)
　(2) にb = 3, c = 4を代入すると
　　3(16-5) + 40 = 73 不適

　ここで行き詰まりました。まさかこんなことを延々と繰り返すわけにはいきません。
　こんなときはどうすればいいのでしょうか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

2abc=2a+5b+10cからbが偶数であることは明らかで，aは与えられた条件から2以上になる。
2abc=2a+5b+10c<2c+5c+10c=17cからabは8以下であるので
a=2，b=4
a=3，b=2
a=4，b=2
のいづれかしかありえません。それぞれ2abc=2a+5b+10cに代入すれば16c=24+10c，12c=16+10c，16c=18+10cとなりcについて解けばc=4，c=8，c=3である。cが最大数となるのは
a=3，b=2，c=8

お礼

すばやい回答まことにありがとうございました。
鮮やかなものですねえ！！