座標

質問

平面上に２点A（－１、１）、B（３、５）がある。ｘ軸上に点Pをとり、点Pを∠APBが最大になるようにする点としたら、その位置はどこになるか。
この問題の解説を教えてください・・

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

方針はすぐ立ちますが，計算がやや面倒です．

P(x,0)とおきます．vecAP=(x+1,-1),vecBP=(x-3,-5)ですから，

cos∠APB=vecAP・vecBP/AP・BP
=(x^2-2x+2)/{√(x^2+2x+2)√(x^2-6x+34)}

log(cos∠APB)
=log(x^2-2x+2)-(1/2)log(x^2+2x+2)-(1/2)log(x^2-6x+34)

{d(cos∠APB)/dx}/cos∠APB

=(2x-2)/(x^2-2x+2)-(x-1)/(x^2-2x+2)-(x-3)/(x^2-6x+34)

これを整理すると

d(cos∠APB)/dx
=16(x+2)(x^2+4x-6)/{{√(x^2+2x+2)√(x^2-6x+34)}}^3

d(cos∠APB)/dxの符号は次の多項式に一致します．

(x+2)(x^2+4x-6)
=(x+2+√10)(x+2)(x+2-√10)

x<-2-√10,-2<x<-2+√10のときdcos∠APB/dx<0
-2-√10<x<-2,-2+√10<xのときdcos∠APB/dx>0

0≦∠APB≦πより∠APBとcos∠APBは1対1に対応し，cos∠APBは単調減少するので，

x<-2-√10,-2<x<-2+√10のとき∠APB増加
-2-√10<x<-2,-2+√10<xのとき∠APB減少

x→±∞のときcos∠APB→x^2/{√(x^2)√(x^2)}=1，∠APB→0

図にはy=cos∠APBと∠APBを同時に描いています．これから

x=-2+√10のとき∠APBは最大

になります．

お礼

グラフまでつけていただきありがとうございます。

回答No.1

alice_44

点 P の座標を (p,0) と置くと、
△APB での余弦定理を使って、
cos∠APB を p の式で表すことができる。
∠APB が最大なのは、cos∠APB が最小のとき。
そうなる p を求めればよい。

お礼

ありがとうございます