証明してください！！

質問

写真の上の問題の証明をお願いします！！
証明苦手で…………。

いちおう問題うっときます♪

右の図で、円Ｏと円Ｏ'は２点Ａ、Ｂで交わっている。点Ｐは直線ＡＢ上の点である。Ｐから２つの円Ｏ、Ｏ'に引いた接線の接点をそれぞれＱ、Ｒとするとき

ＰＱ＝ＰＲであることを証明せよ。

お願いします(゜▽゜)/

回答No.4

girlkeeper · ベストアンサー

方べきの定理を2回使うと一撃です。
ついでなので方べきの定理を証明しながら本題を証明します。

1回目：△ＰＱＢと△ＰＡＱに注目。
　　　　∠ＱＰＢ＝∠ＡＰＱ（共通）
　　　　∠ＰＢＱ＝∠ＰＱＡ（接弦定理）
　　以上から　△ＰＱＢ∽△ＰＡＱ
　　よって　　ＰＱ：ＰＡ＝ＰＢ：ＰＱ
　　　　　　　ＰＱ^2＝ＰＡ・ＰＢ　　・・・（１）
　　（これが方べきの定理）

2回目：詳しくは省略しますが、円Ｏ’側で同様のことをします。
　　　　すると　ＰＲ^2＝ＰＡ・ＰＢ　　・・・（２）

となり、ＰＱ，ＰＲは共にプラスなので
　　　　（１）（２）より　ＰＱ＝ＰＲ　　（証明おわり）

回答No.5

B-juggler

ゴメンゴメン。Ｎｏ．１(o｀・ω・)ゞデシ!!

なんか間違えていそうだと思って、接線と交線だから、等しくなるはずない！

と思って慌ててきたら書いてくださってましたね。

フォロー感謝　ｍ（＿　＿）ｍ

やはりなれないことはしないほうがよさそうだ＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

nattocurry

少しだけ解りやすい書き方にしてみました。

直線OO'と直線ABの交点をCとする。

円Oに注目すると、

PC^2=OP^2-OC^2

OC^2=OA^2-AC^2 なので、

PC^2=OP^2-(OA^2-AC^2)

OP^2=OQ^2+PQ^2 なので、

PC^2=OQ^2+PQ^2-OA^2+AC^2

OQ=OA なので

PC^2=PQ^2+AC^2

円O'に注目すると、同様に、

PC^2=PR^2+AC^2

PQ^2+AC^2=PR^2+AC^2

PQ=PR

回答No.2

nattocurry

直線PQは円Oの接線なので、∠PQO=90°
直線PAは円Oの接線ではないので、∠PAO≠90°
よって、∠PQO≠∠PAO　です。

直線OO'と直線ABの交点をCとする。

円Oに注目すると、

PC^2=OP^2-OC^2

OC^2=OA^2-AB^2/4 なので、

PC^2=OP^2-(OA^2-AB^2/4)

OP^2=OQ^2+PQ^2 なので、

PC^2=OQ^2+PQ^2-OA^2+AB^2/4

OQ=OA なので

PC^2=PQ^2+AB^2/4

円O'に注目すると、同様に、

PC^2=PR^2+AB^2/4

PQ^2+AB^2/4=PR^2+AB^2/4
PQ=PR

回答No.1

B-juggler

幾何学の証明は、補助線やら、合同やら、相似やら

そういうのを考えて行けばいいよ～～。

丸投げしないで、どこまで自分が分かったかを書いてくださいね。

そうしないと、ずっと他人任せになるよ。

試験のとき困るのは、質問者さんあなた自身だからね。

　試験のときに人には聞けないでしょう？

えっと、　円Ｏの中心から点Ｐへ　補助線を引いて！

ＯＰ＝ＯＡ　は自明　（円Ｏの半径ね）

同時に、⊿ＯＱＡ　は　二等辺三角形だから、∠ＯＱＡ＝∠ＯＡＱ

ここ二つと、⊿ＰＡＱを考えたとき　∠ＰＱＯ＝∠ＰＡＯ　

二辺とそのなす角が等しいから、⊿ＰＱＯ≡⊿ＰＡＯ　

よって、　ＰＱ＝ＰＡ　。

これと同じことを　Ｏ’でもやってください。

やっぱりこういう回答はあまり好きじゃないな。。。

ヒントだけ書いておくほうが性分に合いそうです。

元代数学非常勤講師（病気でダウン中）より。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)