パスカルの定理 証明

質問

円周上の6点を、A1,A2,A3,B1,B2,B3 とすると、直線A1B2,A2B1の交点P,直線A1B3,A3B1の交点Q,直線A2B3,A3B2の交点Rとして、P,Q,Rは一直線上にある。
これをパスカルの定理というそうです。
この定理を「円に内接する四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DAまたはその延長と1直線との交点をP,Q,R,Sとすると、PQ・PS：RQ・RS＝PA・PB：RC・RDである。」を用いて、証明するとき以下がわかりません。
直線A2B2,A1B3,A3B1と直線PRとの交点をO,X,Yとする。（添付画像参照）直線PRが四辺形A1B2A2B3を切るからPO・PX：RO・RX＝PA1・PB2：RA2・RB3　
円に内接する四辺形ABCD・・・を使おうとしても、PQ・PSとPO・PXは点の位置が違うので、使えない思うし。メネラウスの定理は、三角形を直線が切るときに使うもので、四辺形を切るときには使えないと思いました。本の図（添付画像）でも四辺形を切っていないと思います。
どなたか、PO・PX：RO・RX＝PA1・PB2：RA2・RB3を、教えてくださいお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

円周上の6点を、A1,A2,A3,B1,B2,B3
直線A1B2,A2B1の交点P,
直線A1B3,A3B1の交点Q,
直線A2B3,A3B2の交点R,

直線A1B3,A2B1の交点をK,
直線A1B3,A3B2の交点をL

とする
△KLMに対して,
直線KL上の点A1と
直線LM上の点B2と
直線MK上の点Pが1直線上にあるから
メネラウスの定理から
(KA1/A1L)(LB2/B2M)(MP/PK)=1…(1)

△KLMに対して,
直線KL上の点B3と
直線LM上の点Rと
直線MK上の点A2が1直線上にあるから
メネラウスの定理から
(KB3/B3L)(LR/RM)(MA2/A2K)=1…(2)

△KLMに対して,
直線KL上の点Qと
直線LM上の点A3と
直線MK上の点B1が1直線上にあるから
メネラウスの定理から
(KQ/QL)(LA3/A3M)(MB1/B1K)=1…(3)

(1)*(2)*(3)から

(KQ/QL)(LR/RM)(MP/PK)(KA1/A1L)(KB3/B3L)(LB2/B2M)(LA3/A3M)(MA2/A2K)(MB1/B1K)=1…(4)

(KA1/A1L)(KB3/B3L)(LB2/B2M)(LA3/A3M)(MA2/A2K)(MB1/B1K)
={(KA1・KB3)/(A2K・B1K)}{(LB2・LA3)/(A1L・B3L)}{(MA2・MB1)/(B2M・A3M)}
↓方べきの定理から(KA1・KB3)/(A2K・B1K)=1
↓方べきの定理から(LB2・LA3)/(A1L・B3L)=1
↓方べきの定理から(MA2・MB1)/(B2M・A3M)=1
↓だから
=1

これと(4)から

(KQ/QL)(LR/RM)(MP/PK)=1

点Pだけは辺KMの延長上の点だから

メネラウスの定理の逆から
∴
3点P,Q,Rは1直線上にある

お礼

補助線と、メネラウスの定理、方べきの定理、から証明できるんですね。
勉強になりました。ありがとうございます。