またまた積分お願いします。

質問

見にくくなってしまうので∫の範囲は０→π／２でお願いします。

定積分∫(ax-sinx)^2dxを最小にする実数aとその時の定積分の値を求めよ。

あと2e^loge+1/2っていくつになりますか？？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

範囲は省略
∫(ax-sinx)^2dx
=∫(a^2x^2-2axsinx+sin^2x)dx
=a^2/3[x^3]-2a{[x(-cosx)]-∫(x)'(-cosx)dx}+1/2∫{1+cos(2x)}dx
=a/3(π^3/8-0)+2a[xcosx]-[sinx]+1/2[x+1/2sin2x]
=a^2π^3/8+2a+0-1+1/2{(π/2-0)+1/2(0-0)
=a^2π^3/8+2a+π/4
=π^3/8(a+8/π^3)^2-8/π^3+π/4
よって、a=-8/π^3のとき最小でこの時
∫(ax-sinx)^2dx=-8/π^3+π/4

2e^loge+1/2
これについてですが
loge=1となります。(あるいはe^loga=aから求めてもよい) よって
2e^loge+1/2=2e+1/2

お礼

毎回回答して頂いてありがとうございます！
参考にします。