積分の問題なんですが＾＾；

質問

∫e^(-x^2)dx
定積分で範囲は－∞から∞です
このとき方がさっぱり出てきません＾＾；
簡単かと思ったら全く難しくて・・・
どうかお願いします

回答No.1

makeit05 · ベストアンサー

非常に基礎的で重要な問題ですね。これは大学生でなければ、解けない問題です。そのまま積分をしようと思って、部分積分などをしてもはまるだけです。今回は、この積分をGとおいて、G^2を考えましょう。このとき、積分は以下のようになります。
G^2={∫e^(-x^2)dx}{∫e^(-y^2)dy}=∫e^(-x^2-y^2)dxdy
このように書き換えて良いということは、考えなければあっさりそのまま流せますが、きちんと理解して頂きたいと思いますので、多少書きますと、こんな風にxとyにわけて書くことができるのは、それぞれの積分がx、yによらないからなんですよね。もっと簡単に言うと、xとyの積分をどっちからやろうと結局答えは同じになるよ～っという意味が含まれているのです。長くなりましたが、続けて積分範囲は両方とも＋∞から－∞です。
こうすると、このG^2の積分は、x-y平面全体の積分になっていることがわかると思います。ここで、変数変換
x=rcosθ
y=rsinθ
として、dxdy=rdrdθですから、結局積分は
G^2=∫dθ∫re^(-r^2)drとなります。
積分範囲は、θは0から2π、rは0から∞です。これで平面全体の積分に対応させることが出来ます。θの積分は2π。rのほうは、部分積分を使って求めることが出来ます。ここまでくれば、できるのではないでしょうか？あえて、答えは書きません。

dxdy=rdrdθは、ヤコビアンを使っています。ヤコビアンを知らないのであれば、そこから勉強する必要がありますよ。頑張って下さい。

お礼

自分は大学生です＾＾；お恥ずかしい限りです＞＜
変数変換を使うんだろうな～とは思っていたんですが
２乗は思いつかなかったです＾＾；ありがとうございました