高校数学 積分

質問

ｓ＝∫［－２～１］｜Ｘ＾２＋２ａＸ｜ｄＸについて、次の問いに答えよ。ただし、ａ≧０とする。

（１）Ｓをａの関数で表せ。

（２）Ｓを最小にするａの値とそのときの最小値をもとめよ。

答：（１）ａ＞１のとき、Ｓ＝５ａ－７／３，０≦ａ≦１のとき、８／３ａ＾３－３ａ＋３
　　（２）ａ＝√６／４のとき、最小値は３－√６／２

　この解き方がわかりません。
途中式もお願いします。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

問(1)
f(x)=x^2+2ax　とします。変形して、f(x)=(x+a)^2-a^2　となる。これは下に凸の2次曲線である。
f(x)=0となるxは、x=-2aとx=0　　a≧0であるから-2a≦x≦0の範囲でf(x)≦0
よって、|f(x)|は x<-2a,x>0の範囲で|f(x)|=x^2+2ax、 -2a≦x≦0の範囲で|f(x)|=-x^2-2ax
|f(x)|を[-2,1]で積分するために、-2と-2aの関係を考慮して、[-2,-2a],[-2a,0],[0,1]または[-2,0],[0,1]の区間に分けて積分すれば良い。
問(2)　(1)が求まれば後は簡単です。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

(1)
答えがあるにどこが分からないづすか？
絶対値=0の境界であるx=0とx=-2a(≦0)に注目して積分範囲を分けて絶対値をはずせば良いでしょう。
その際、積分の下限x=-2とx=-2aの大小関係,すなわち
　-2a＜-2の場合(a>1)と
-2≦-2a≦0の場合(0≦a≦1)
に場合分けすればいいですね。
各場合について y=|x^2+2ax|のグラフを描いて考えるとわかり易いでしょう。

a>1の場合 -2a＜-2なので
　S=∫[-2,0] -(x^2+2ax)dx+∫[0,1] (x^2+2ax)dx
を積分すれば良いでしょう。

0≦a≦1の場合　-2≦-2a≦0なので
　S=∫[-2,-2a] (x^2+2ax)dx∫[-2a,0] -(x^2+2ax)dx
+∫[0,1] (x^2+2ax)dx
を積分すれば良いでしょう。

そうすれば答えのSが得られます。

(2)
(1)のSで、a>1の場合と0≦a≦1の場合のそれぞれについてSの最小値を調べて下さい。
a≧0の場合を通してのaに対するSのグラフを描けば、0≦a≦1の場合にSは最小値をとることが分かります。これが(2)の答えのようになります。
0≦a≦1の場合のSの最小値はdS/da=8a^2-3=0,a=√6/4のときと分かりますね。

お礼

テキストに答しか載っていないため、考え方を知りたかったのです。
回答ありがとうございました。