二次関数 軸の計算方法がわかりません。

質問

よろしくお願いします。

Ｘ^2－２ｋｘ＋ｋ＝０　の2解が共にー２より大きくなるような定数ｋの値を求めよ。

という問題で軸はー２より大きい、
ですよね、
　　 上記の式を（Ｘ－ｋ）^2ーｋ^2＋ｋはわかるのですが
　　　これがなぜｋ＞－２の答えを導きだせるのかがわかりません。
　　　どなたかご教授ください。

　　よろしくお願いします。

回答No.3

entap · ベストアンサー

問題か答えを間違えていませんか?
K>-4/5になると思いますが…

解き方は以下の通りです。

まず、なぜ、（Ｘ－ｋ）^2ーｋ^2＋ｋという形式にしたのか考えて見ましょう。

f(x)=Ｘ^2－２ｋｘ＋ｋ＝０は、単なる式ですね。
ところで、一般に、二次関数f(x)について、ax^2+bx+cという式を変形し、
p(x-q)^2+rという形式にした時、
y=f(x)なるグラフは二次関数の形を取り、pはその傾き、qとrはその頂点を指すのでした。
つまり、式を変形して、幾何学的な解釈をしやすい形に変えているようです。

さて、グラフ的な考えのまま、f(x)=0のxが-2より大きい、ということが
どういうことなのか考えてみると、
f(x)は、(先にy=f(x)と定めているので)xy平面で言う、y座標を表します。
y座標が0ということは、y=f(x)というグラフとy=0との交点を意味します。

つまり、f(x)=0の2解が共に-2である、ということは、
グラフy=f(x)とy=0との交点(2次関数なので0～2個)のx座標が、共に-2以上であればいいわけです。

※お気づきの通り、（Ｘ－ｋ）^2ーｋ^2＋ｋという形式にすること自体、
この計算上の意味はほとんどありません。
なぜ、（Ｘ－ｋ）^2ーｋ^2＋ｋに変形するんでしょうね…。
グラフを書け、という問題であれば、最終的にグラフを書きやすくするために、このような形にしてもいいですが。

では、f(x)=0の式を解きましょう。
Ｘ^2－２ｋｘ＋ｋ＝０を解くと、x=k+-√(k^2-k)となります。
二解を持つようですが、このうち小さい方の解、x=k-√(k^2-k)が-2より大きければいいので、
k-√(k^2-k)=-2をときます。k=-4/5と出ます。
k>-4/5の時、xは-2以上となります。
従って、
K>-4/5
が正解です。

お礼

私が質問したのは、諸条件（判別式など）の一つの意味合いがよくわからなかったのですが
軸はそのまま使えるのですね（答えがー２とは理解しています。）
自分なりに納得できました、ありがとうございました。

回答No.4

noname#150682

>Ｘ^2－２ｋｘ＋ｋ＝０　の2解が共にー２より大きくなるような定数ｋの値を求めよ。

の問いの意味は、X ＞ -2 となるように、k の値を求める　と言うことだと思います。

つまり、解の方程式　X = (-b±√(b^2 - 4ac))/2a

a=1 b=-2k c=k を代入して

X = k ±√(k^2 - k) > -2

を解けば良いことになると思います。

お礼

自分なりに納得できました。
ありがとうございました。

回答No.2

nattocurry

＞これがなぜｋ＞－２の答えを導きだせるのかがわかりません。

その前に、ｋ＞－２　は本当に答ですか？

ｋ＞－２　が答なら、ｋ＝－１でも題意を満たすということになりますよね。

ｘ＾２－２ｋｘ＋ｋ＝０
ｘ＾２＋２ｘ－１＝０
（ｘ＋１）＾２＝２
ｘ＋１＝±√２
ｘ＝－１±√２

－１－√２＜－２　となり、題意を満たしませんよ。

二つの解をα、βとすると、
α＋β＝２ｋ
αβ＝ｋ

α＞－２、β＞－２、より
α＋β＞－４
２ｋ＞－２
ｋ＞－１

（α＋２）（β＋２）＞０
αβ＋２（α＋β）＋４＞０
ｋ＋４ｋ＋４＞０
５ｋ＞－４
ｋ＞－４／５

両方を満たすｋの範囲は、
ｋ＞－４／５

お礼

はい、－２ではないのは理解しているのです。
自分なりに納得できました。

いつもＦ（－２）にあてはめていたのですが
こういうとき方もあるのですね、参考になりました
ありがとうございました＾＾

回答No.1

noname#139832

y=(x-k)^2-k^2+k
という二次関数の頂点が(k,-k^2+k)で、軸の方程式がx=kだからです

お礼

そうなんです、それに計算が必要かと思いきや、
その条件はそのまま使えたのですね、
ありがとうございました。