積分の問題が分かりません

質問

放物線 y = 4x - x^2 とx軸とで囲まれた部分の面積を、直線 y = kx で２等分するように、
定数kの値を定めたいのですが・・・。

　-x^2 + 4x - kx を 0 から 4-k まで積分した値が 16/3 になるのかと思い、計算したら、k^3 -12k^2 + 48k -32 = 0 となりました。
　でも、この式の解き方が分かりません。
　因数定理を使おうとしたのですが、0になるkの値を見つけられませんでした。
　解と係数の関係も考えてみたのですが、どれをどれに代入したら答えがでるのか分かりませんでした。

　どうしたら答えがでるか、教えていただけないでしょうか。
　お願いいたします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

途中で
-(1/3)(4-k)^3+2(4-k)^2-(1/2)k(4-k)^2=16/3
と出てきますよね。ここで、4-k=Aと置いてみればk=4-Aで
-A^3/3+2A^2-(A^2/2)(4-A)=16/3
-A^3/3+2A^2-2A^2+A^3/2=16/3
A^3/6=16/3
A^3=32
4-k=32^(1/3)　とできます。

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。

　回答者様のおかげで、理解することができました。

　回答者様は素敵ですね。

　回答者様のような数学ができる人になれたらいいのに・・・と思います。

　ありがとうございました。