円盤を斜めから見たときの立体角

質問

半径rの円盤を高さ h、 軸からのずれ x 離れたところから見たときの立体角を求めるにはどうしたらよいでしょうか。

h は r程度から4r程度、xは０から　2r 程度の所です。

回答No.2

FT56F001

#1の近似は，円盤の半径に比べて，十分遠いところから見た立体角です。
覆いかぶさるほど近いところからの立体角を正確に求めたいとすれば，
円盤上の微小面積(dr r dφ)を視点からみた立体角の和の形として
次の二重積分になります。
(積分が閉じた関数形に変形できるかは確認していません。)

半径Rの円盤から法線方向にH，円盤面に並行にX移動した視点から円盤を見た立体角Ω

Ω=∫[0からR]dr ∫[0から2π]dφ　Hr/{r^2+X^2+H^2-2rX cosφ}^(3/2)

お礼

ありがとうございます。

残念ながらこれはわたしの力では積分できそうに無いです。
じつはこれを、HとX方向にさらに積分するのです。。。。
精度はあまり高くなくてもよいので、この式を数値積分して解くことにします。

回答No.1

FT56F001

一部近似します。
円盤の法線と，円盤の中心から視点へ引いた線分のなす角をθとおきます。
円盤の面積πr^2は，視点から見ると(斜めになるので)πr^2×cosθと見えます。
視点と円盤の中心との距離はL=sqrt{h^2+x^2}，
cosθ=h/Lです。
さて，立体角Ω=面積/距離^2= πr^2 cosθ/L^2=π(r^2)h/L^3
よって立体角Ω=hπ(r^2)/{h^2+x^2}^(3/2)

お礼

有難うございます。

一点気になるところがあります。

＞円盤の面積πr^2は，視点から見ると(斜めになるので)πr^2×cosθと見えます。

このθですが、h≒r、x≒r～ 2r　といった極近い所でも、
　　距離 L=sqrt{h^2+x^2}，cosθ=h/L
という近似で大丈夫でしょうか。もうすこし覆い被さってくるような気がしていまして。