長方形窓の立体角投射率

質問

現在、立体角投射率について学んでいます。
長方形の立体角投射率で悩んでおり質問させてもらいました。

光源面と受照面が垂直の場合に
立体角投射の法則
U=1/π∫s(面積S) cosθcosβ/r^2 dS
を適用すると、図からcosβ=z/r, cosθ=y/r, r=√(x^2+y^2+z^2), dS=dxdy
であるから
Uv=1/π∫0～x∫0～y yz/x^2+y^2+z^2 dxdy
　=1/2π(tan^-1 x/z - z/√(z^2+y^2)・tan^-1 x/√(z^2+y^2)

となっています。（表記が分かりにくくすみません。）

ただ、図からはr=√(y^2+z^2)としか読み取れないため、なぜ
r=√(x^2+y^2+z^2)になるのかが分かりません。

また、
Uv=1/π∫0～x∫0～y yz/x^2+y^2+z^2 dxdy
r=√(x^2+y^2+z^2)と仮定したとしても本来ならば
Uv=1/π∫0～x∫0～y yz/(x^2+y^2+z^2)^2 dxdyになると思うのです。

様々な参考書を見たところ
1/2π(tan^-1 x/z - z/√(z^2+y^2)・tan^-1 x/√(z^2+y^2)
の式はどうもあっているみたいなのでそれ以外の部分について修正などがありましたら教えていただけないでしょうか。

私に数学力がもっとあれば逆に計算していけばよいのですが・・・

回答No.8

apollonius · ベストアンサー

>立体角投射の法則
>U=1/π∫s(面積S) cosθcosβ/r^2 dS
この式は、以下のサイトの(15)式と同じものと考えていいのでしょうか。

http://www.jeea.or.jp/course/contents/09103/

すなわち、Uを照度、Lを輝度、dSを微小面積とすると、
　U=∫(L*cosθcosβ)/r^2 dS　...　(A)
だとすると、質問者さんが掲載されている図の表記がそもそも間違っています。

上の式のcosθやcosβなどは、積分記号の中にある変数ですから、いきなり面全体について考えるのではなく、面上の小さい区画（微小面積）について考えないといけません。

いま、図において、点Pを原点として、ABに平行にx軸、ADに平行にy軸、APに平行にz軸をとるとします。長方形ABCD内の一点Q(x,y)上に横dx、縦dyの微小長方形をとったとき、原点Pから見た点Qの位置ベクトル（点PとQを結んだ矢印のこと）をXとすると、
　X=(x,y,-z)　（点PとAの距離をzとします。）
と表わせます。受照面（点Pのある面）の法線ベクトルをMとすると、
　M=(0,1,0)
また、長方形ABCDの法線ベクトルをNとすると、
　N=(0,0,1)
となります。(A)式において、θとはベクトルXとMのなす角度、βとはベクトルXとNのなす角度のことです。よって、
　cosθ=X・M/|X||M|=y/√(x^2+y^2+z^2)=y/r
　cosβ=-X・N/|X||N|=z/√(x^2+y^2+z^2)=z/r
　（ベクトルXの向きをQP方向にするために、Xにマイナスをつけました。）
また、ｄS=dxdyですから、(A)式に代入すれば、
　U=∫L(y/r)(z/r)(1/r^2)dxdy=∫Lyz/r^4 dxdy
となります。

参考URL：

http://www.jeea.or.jp/course/contents/09103/

お礼

まさかβがベクトルXとNのなす角だとは・・・（そこからわかっていませんでした(ーー;)
確かに式本来の意味を考えればそうなりますね。
ほんと図にずっと惑わされておりました。

ちなみにE(照度)≠U(立体角投射率)です。
E=πLUという公式があります。
式変形でU=E/πLになりますので
U=1/π∫s(面積S) cosθcosβ/r^2 dSになります
と、これは完全に余談ですね^^;
今回の件に関して言えばEだろうがUだろうがそれほど問題ではありませんでした。

今回の回答で悩みが解決できました。
本当にありがとうございます！！

補足

本当に皆さんありがとうございます。
この問題自体は物理学の問題ですが、このような問題を解いていく上で数学の重要性が本当に良く分かりました。
できるだけこのような質問をしないですむよう勉強していかないと・・・

皆さんにポイントと言いたいところですが
ポイントは非常に有用な回答をしていただいたお二人にお付けしたいと思います。

回答No.7

Tacosan

あ～, 勘違いしてました....
図に「P点」ってあるので, そこだけを考えるものだと思い込んでました. そうじゃなくて, 「P点を含む, 長方形に垂直な面」を考えてるんですね.
すみません, 失礼しました. 最初にそう書いてあるのに....
ああ, でもそうするとどっちが正しいんだろう?

お礼

回答ありがとうございます。
なんか僕自身完全に問題を理解してないところがありまして。。
本当申し訳ないです。

回答No.6

alice_44

y が光軸方向だから、
対称には、ならないのでは？

お礼

四角形ABCDからPに向かっているのに、光軸方向ってyなんですか？

回答No.5

Tacosan

この手の「計算」なら, 今では人間がやらずとも計算機がやってくれますね.
でちょっと計算させてみると,
∫[0→x]dx∫[0→y]yz/(x^2+y^2+z^2)^2 dy
の結果は
(1/2)tan^-1 (x/z) - (z/2√(y^2+z^2)) tan^-1 (x/√(y^2+z^2))
になります.
ただ.... #4 でもちょろっと書いたんだけど, この式で x と y が対称なようには見えないんですよ....
で, 実際に調べてみると
http://gf.hvacsimulator.net/gf/download/frsrelease/159/252/10章.pdf
では違う式を導いてるんですね.

お礼

計算式自体は
∫[0→x]∫dx[0→y]yz/x^2+y^2+z^2 dy
ではなく
∫[0→x]dx∫[0→y]yz/(x^2+y^2+z^2)^2 dy
で計算して導くことができてるんですか・・・

また、xとyが対称とはどういうことでしょうか？
(1/2)tan^-1 (x/z) - (z/2√(y^2+z^2)) tan^-1 (x/√(y^2+z^2))
この式が対称式だけど対称になってないということでしょうか？
数学が全然できないもんで。。。

補足

あと、URL先の
(1/2)tan^-1 (a/b) - (d/2√(b^2+d^2)) tan^-1 (a/√(b^2+d^2))の初めのほうにあるa/b（今回の場合だとx/yに当たりますが）は誤植じゃないかなぁと単純に考えておりました。
もしa/bなら納得のいく回答になるのでしょうか？

回答No.4

Tacosan

すみません, ついでなんですが
1/2π(tan^-1 x/z - z/√(z^2+y^2)・tan^-1 x/√(z^2+y^2)
という式はあっているのでしょうか?
この形で x と y が対称であるようには見えないのですが....

お礼

この問題の場合のUvは
1/2π(tan^-1 x/z - z/√(z^2+y^2)・tan^-1 x/√(z^2+y^2)であっているみたいです（全く別の著者が書いた二冊の参考書が両方間違っているならお手上げですが・・・）
ただ、そこに導く過程が全く分からないため
Uv=1/π∫0～x∫0～y yz/x^2+y^2+z^2 dxdyであっているのかがわからないのです。。。
図としてはNo.3さんがおっしゃるように、△PBCを見たときに、cosθはそのままでも，cosβの値が変わってきて何がなにやらって感じになって・・・

回答No.3

alice_44

図が違うんですよ。
r が √(y~2+z~2) でなく √(x~2+y~2+z~2)
になる理由を、
図からではなく、各文字が何を表していたか
に注目して、考えなおしてみましょう。
そうすると、r, θ, β は、△PAD ではなく
△PBC の中に置かねばならなかった
ことが解ってくるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
△PBCのなかにr, θ, βをおくことも考えたのですが・・
そうすると途中の式が完全に狂うんじゃないかと思いまして。。
例えば、cosβ=z/rは
ではなく、cosβ=√(z^2+x^2) /rになりますよね。
そうなったときに
最終的に1/2π(tan^-1 x/z - z/√(z^2+y^2)・tan^-1 x/√(z^2+y^2)
まで導けるのかどうかが。。
何度か計算してみます

回答No.2

Tacosan

「立体角投射の法則」は知らない (というか調べても分からんかった) ので分母が 1乗なのか 2乗なのかは分かりません.
ただ, 1つ言えることは「この図を使って単純に計算してはいけない」です.
もっとはっきり言うと, 「D を左上隅とする微小長方形領域」を考えたときと「C を右上隅とする微小長方形領域」を考えたときとで, r, cos θ, cos β として同じ値を使うことができると思いますか?

お礼

回答ありがとうございます！
一番下の行の意味が良く分からないのですが△PADと△PBC見たときじゃ
r, cos θ, cos β
の値が変わるよということが言いたいのでしょうか？

回答No.1

noname#112109

物理学カテゴリで質問してください。

お礼

そうですね。物理学かとも思いましたが、単純に分からないのは数学的な問題かと思いまして。
次回以降気をつけます。