角運動量と慣性モーメントの問題について

質問

力学の問題です。

下図のように、剛体円盤AとBが、なめらかな(x,y)平面上にある。質量はともにM、半径はともにRであり、単位面積当たりの質量は一定であるとする。円盤Aが、速さvでx方向に回転せずに運動し、静止している円盤Bに衝突した。衝突前の円盤Aの中心はy=–Rで与えられる直線上に、円盤Bの中心は原点にあったとする。2つの円盤は衝突の瞬間に接点で完全に付着し、その後、一体となって運動したとする。以下の設問(1),(2)に答えよ。
(1)2つの円盤の重心系での全角運動量の大きさLを、M、R、vのうち必要なものを用いて表せ。
(2)付着後の2つの円盤の重心を通る(x,y)平面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント(慣性能率)Iを、M、R、vのうち必要なものを用いて表せ。
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

(1) ２つ円盤の重心は 速度 v/2 で x 方向に進みますが、
運動量保存則により、この運動は衝突の前後で変わりませんので
これを基準に考えるとわかりやすいと思います。

重心が静止した系からみると、衝突前に円盤は回転しておらず、
x軸に平行に進みますが、両円盤のそれぞれの重心が進む直線は重心から (1/2)R 離れていて
速度は (1/2)v なので、(1/4)RMvの角運動量を持ちます。２つ合わせて (1/2)RMv です。
角運動量保存則により、衝突の前後でこの値は変わりません。

(2) 各円盤の慣性モーメント = 円盤の中心に対する慣性モーメント +
　　　　　　　　　　　　　 円盤の中心から回転軸がずれたための増加量
= (1/2)R^2M + MR^2 = (3/2)R^2M
なので円盤２個で 3R^2M