行列の質問

質問

x>0に対しf(x)=logx/xとする。
(1)n=1,2,・・・・・に対しf(x)の第n次関数は,{an},{bn}を用いてf^(n)(x)=an+bnlogx/x^n+1
と表されることを示し、an,bnに関する漸化式を求めよ。
(2)hn=Σk=1→n 1/kとおく。hnを用いてan,bnの一般項を求めよ。

教えてほしいところ
解説の解き方がいまいち理解できません

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

n[1] = -1,　b[n+1] = -(n+1) b[n] により
b[ ] の最初の数項を書き出してみれば、
b[n] = (-1)^n (n!) だという見当はつくと思います。
数学的帰納法を使ってソレを証明してもよいのですが、
帰納法は煩瑣なので、もう少し簡単に書こうとしたのが
解説のやり方でしょう。

b[n] = (-1)^n (n!) という予想が正しければ
b[n]/{(-1)^n (n!)} = 1 となりますから、
b[n]/{(-1)^n (n!)} は極簡単な漸化式を持ち、
そこから = 1 を導くことができそうです。

で、b[n+1] = -(n+1) b[n] という式を睨んで、これを
b[n+1]/{(-1)^(n+1) (n+1)!} と b[n]/{(-1)^n (n!)} の
関係式に変形できないかと考えてみると、
両辺を (n+1)! で割るアイディアが浮かんできます。

こうして求められた b[n] = (-1)^n (n!) を
a[n+1] = b[n] - (n+1)a[n] へ代入すると、
a[n+1] = (-1)^n (n!) - (n+1)a[n] となります。

b[n] のときの式変形を参考に、a[n] の漸化式を簡単にする
方法を考えてみると、やはり両辺を (-1)^n (n!) で割れば
a[n+1]/{(-1)^(n+1) (n+1)!} = -1/(n+1) + a[n]/{(-1)^n (n!)}
とできることが見つかります。

c[n+1] = -1/(n+1) + c[n] ただし
c[n] = a[n]/{(-1)^n (n!)} だということですから、
c[n] = c[1] - Σ[k=1…(n-1)] 1/(k+1) と解くことができます。

回答No.1

hrsmmhr

anもbnも出すときに両辺を(-1)^(n+1)(n+1)!で割ってみたんだと思います
bnはそうしなくてもいいのですがanはそうした方がきれいですので
bnもついでにそうしてみたんだと思います。

補足

ん-よくわかりません。
もっと数学が苦手な人にわかるように丁寧に説明して下さい。