漸化式a(n+1)=p・a(n)+qの解き方

質問

お世話になっております。基本の漸化式について質問させて下さい。

教科書の基本例題を通して解説下さると有り難いです。
問「条件　A1=1、A(n+1)=3・A(n)+2　で定まる数列{An}の一般項を求めよ」

まず、漸化式についてA(n+1)=x、A(n)=x とおいて方程式x=3x+2 …(1)を立てる。

漸化式から(1)式を辺々引いて、A(n+1)-x=3{A(n)-x}…(2)

(2)が成り立つことは、(1)の解x=-1を(2)に代入して展開すれば成り立つから、(1)(2)の意味はわかりました。

次に教科書の解では、A(n)-x=B(n)とおくとき、(2)式は、B(n+1)=3・B(n)…(3) と表せることが、唐突に書かれておりましてこの意味が中々解らずに困っておるのですが、色々探ってみたら

(3)式が成り立つのは、与えられた漸化式から
{An}=1,5,17,53,……であるから、{Bn}={An+1}=2,6,18,54,……であって、ここから例えば n=1のとき(2)式の左辺はA(2)-(-1)=A(2)+1=6。つまり{Bn}、(n=1,2,3……)に対して{B(n+1)}に等しいから、(3)式が成り立つということでしょうか。 また、この(回りくどい)質問が仮に正しいとして、この基本の漸化式を解く場合はいつもこの考え方(与えられた条件から元の数列の3～4項くらいは求めておく)で解くものでしょうか。
或いは上で書いた教科書の解のように、即座にB(n+1)=p・B(n)が成り立つものとして解くのでしょうか。

長ったらしい質問で申し訳ありませんが、もう少しで基本が掴めそうなので、駄目押しのご回答を下さい。宜しくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

＞B(n)に3かけた値がB(n+1)と一致するのが解るのは、やはり実際にA(n)の2～3項を求めて確かめるからでしょうか。

いえ、そういうことではないです。式の形だけから判断できます。
A(n+1)+1=3{A(n)+1} …… (1)
と、変形した後の漸化式において、B(n)=A(n)+1とおくと、
数列{B(n)}の一般項は、{A(n)}の一般項に1を加えた値です。
一方、B(n)=A(n)+1とおいたわけですから、A(n)やB(n)の次の項である
A(n+1)やB(n+1)に関する関係式は、B(n+1)=A(n+1)+1となることも
ご理解いただけるのではないかと思います。
そうすると、漸化式(1)を書き換えると
B(n+1)=3B(n)
となり、数列{B(n)}、つまりは数列{A(n)+1}の初項と公比が求まります。

お礼

改めて、ご回答ありがとうございます。大変よくわかりました。流石としか形容のしようがありません。

回答No.1

asuncion

A(n+1)=3・A(n)+2 …… (1)
t=3t+2とおいて、t=-1
このt=-1を用いて、漸化式(1)は、A(n+1)+1=3(A(n)+1)と変形できるわけです。

ここで、B(n)=A(n)+1とおいて、数列{B(n)}を考えると、
B(n)に3をかけた値が次の項B(n+1)であることがわかります。
よって、数列{B(n)}、つまり数列{A(n)+1}の一般項は、
初項A(1)+1=2、公比3の等比数列だとわかります。
よって、B(n)=A(n)+1=2・3^(n-1)となり、
元の数列{A(n)}の一般項は2・3^(n-1)-1となります。

お礼

凄い簡潔な……改めて取り組んでみます。いつもありがとうございます。

補足

B(n)に3かけた値がB(n+1)と一致するのが解るのは、やはり実際にA(n)の2～3項を求めて確かめるからでしょうか。