連立漸化式

質問

a[1]=1,b[1]=2,a[n+1]=a[n]+6b[n],b[n+1]=a[n]-4b[n]
(1)a[n]+b[n]をnで表せ。
(2)a[n]-6b[n]をnで表せ。
(3) (1)(2)の結果を用いてa[n],b[n]の一般項を求めよ。

という問題ですが
この問題は誘導式になっているので何とか解く事はできますが
いきなり
a[n],b[n]の一般項を求めよ。
だった場合はどうやって
a[n]+b[n]をnで表す。
a[n]-6b[n]をnで表す。

なんて思いつくのでしょうか??

部分分数分解みたいに強引にやるとしてもある程度答えが推測できないと
できない気がするのですが…

＊a[n]は数列aの第n項を意味します。
正規の表示方法と違う場合は指摘してくださると幸いです。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

行列の固有ベクトルが使えれば簡単.
あるいは a[n+1]=a[n]+6b[n] から b[n] = (a[n+1]-a[n])/6 なのでこれを b[n+1] = a[n]-4b[n] に代入する. b[n+1] = (a[n+2]-a[n+1])/6 であることに注意すれば a に関する 3項漸化式になり, この問題のやり方とは違いますが解けます.

お礼

早速の回答ありがとうございます。
行列の固有ベクトルは大学で学ぶもののようなのでわかりませんが
後者の方法ならできそうな気がします。

回答No.5

mister_moonlight

＞a[n],b[n]の一般項を求めよ。だった場合はどうやって

何も、“a[n]+b[n]をnで表す。a[n]-6b[n]をnで表す。”必要もない。
もっと素朴に解ける。

a[n+1]＝a[n]+6b[n]‥‥(1)、b[n+1]＝a[n]-4b[n]‥‥(2)を連立方程式とみなして解くと、a[n]　と　b[n]　の関係が出るから、それを(1)か(2)に代入すると、どちらかの2項間の漸化式になる。そうすると以降は簡単だろう。
そちらの方が自然な方法だろう。

お礼

#1さんと同じ解法ですね。
ありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

それはもともとの
「いきなり～なんて思いつくのでしょうか??」
には全く答えていないのでは＞#2.
本当に聞きたいのは「-6*(3) + (4)」の -6 がどこから出てきたのか, などのはずなので... で, それは「行列の固有値とか固有ベクトルを使えば実は出るんだよ」ってのが #1.

回答No.3

inara1

間違いを訂正します。
×等比級数
○等比数列
結果は検算していないのでご自分で計算して確認してください。

回答No.2

inara1

＞なんて思いつくのでしょうか
思いつかなくても良くて、そうなるように導けばいいのだと思います。

　　　a[1] = 1, b[1] = 2
　　　a[n+1] = a[n] + 6*b[n] --- (1)
　　　b[n+1] = a[n] - 4*b[n] --- (2)

(1) - (2) を計算して、a[n] を消せば
　　　a[n+1] - b[n+1] = 10*b[n]　　　--- (3)
4*(1) + 6*(2) を計算して、b[n] を消せば
　　　4*a[n+1] + 6*b[n+1] = 10*a[n] --- (4)

【問題(1)の解】
(3) + (4) を計算すると
　　　5*( a[n+1] + b[n+1] ) = 10*( a[n] + b[n] )
　　　→ a[n] + b[n] = 2*( a[n-1] + b[n-1] )
a[n] + b[n] = c[n] とおけば
　　　　　c[n] = 2*c[n-1]、c[1] = a[1] + b[1] = 3
これは初項3、公比2の等比級数なので
　　　　　c[n] = a[n] + b[n] = 3*2^(n-1) --- (5)

【問題(2)の解】
-6*(3) + (4) を計算すると
　　　-2*( a[n+1] - 6*b[n+1] ) = 10*( a[n] - 6*b[n] )
a[n] - 6*b[n] = d[n] とおけば
　　　　　d[n] = -5*d[n-1]、d[1] = a[1] - 6*b[1] = -11
これは初項-11、公比-5の等比級数なので
　　　　　d[n] = a[n] - 6*b[n] = -11*(-5)^(n-1) --- (6)

【問題(3)の解】
式(5)と(6)を使えば簡単ですね

お礼

a[n]とb[n]を消去する方法もあるんですね。

丁寧な解説までありがとうございました。