漸化式について。

質問

a_1=1, a_(n+1)=3a_n+4nで定められた数列{a_n}の一般項を求めよ。

という問題なんですが、解説を読んでも理解できません；；

解説には、b_n=a_n-(αn+β）とおいて、数列{b_n}が等比数列になるように、αとβを求め、一般項を出す、というやり方で書いてあります。

何故b_n=a_n-(αn+β)とおくのでしょうか？αn+βがどこから出てきたのか分かりません・・・。

また、{b_n}が等比数列になるようにαとβを求める、ということも理解できません。

何故、b_nは等比数列にならなければいけないのでしょうか？

どなたか教えてください。お願いします。

回答No.4

noname#47975 · ベストアンサー

>解説には、b_n=a_n-(αn+β）とおいて、数列{b_n}が等比数列になるように、αとβを求め、一般項を出す、というやり方で書いてあります

それも解法のうちの１つです。
a_(n+1) = 3a_n + 4nの形のままでは｛a_n｝を求める事は困難です。
よって、簡単な形に変形しようというわけです。

与えられた漸化式を

{a_(n+1) - α(n+1)-β} = 3{a_n - αn - β}-------(1)

という形に変形し、
b_n = a_n - αn - βとおけば、b_(n+1) = 3(b_n)といった形の
{b_n}が等比数列になるようにしたいわけです。そうなるための
α、βの値をまず先に考えるわけです。

ここで、(1)式を変形すれば、
a_(n+1) - α(n+1) - β = 3a_n - 3αn - 3β
a_(n+1) = 3a_n - 2αn + (α - 2β)となりますので、

与えられた漸化式と等しくなるようにα、βを定めればよいので、
-2α = 4 , α - 2β = 0としてこの連立方程式を解けば良いわけですね。

また、{a_(n+1) + α(n+1)} = 3{a_n + αn} + βとおいて、
上記と同じ要領で、α、βの値を求め、今度は、
b_n = a_n + αnとおけば、b_(n+1) = 3b_n + βとなりますので、
これでも解けますね．．。
だが、前者の方が{b_n}を求める際は計算量が少なく済みます。
そういった理由で、出来るならばb_nを等比数列の形にする方が効率的だと
思います。

また、#2さんが紹介している解き方の他にも、
以下のような解き方もあります。

a_(n+1) = 3a_n + 4n－－－－(3)
a_n = 3a_(n-1) + 4(n-1)－－(4)

(3)－(4)より、

{a_(n+1) - a_n} = 3{a_n - a_(n-1)} + 4－－－(5)

ここで、b_n = a_(n) - a_(n-1) b_1 = 1とおくと、

b_(n+1) = 3×b_n + 4より、
b_n = 3^n - 2となり、すなわち
{a_n - a_n-1} = 3^n - 2

後は、階差数列を利用してa_nを求めれば良いだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます！
とても分かりやすかったです。理解できました！
ありがとうございました。

回答No.5

kkkk2222

a(1)=1
a(n+1)=3a(n)+4n

--------------------------
4nでも、4(n^2)+3n+2でも、此の項を左右に振り分けるという技巧となります。
4nを左に2n、右に2n、と振り分けても、上手くいきません。
-------------------------

形としては、

【a(n+1)－［A（n+1)+B］】＝３【a(n)－［An+B］】
になれば、【(n+1)の式】＝３【nの式】　となって上手い事になります。
このようになるA、Bが存在すればOKです。

計算して見ると、

【a(n+1)－［A（n+1)+B］】＝３【a(n)－［An+B］】
a(n+1)＝3a(n)－３An－３B＋An＋A＋B
a(n+1)＝3a(n)＋（－２An＋Aー２B）
　　　　　　　　　　　　　　　↑　が　4n
－２A＝４
Aー２B＝０

A＝－２、　B＝－１　と決定されます。

あとは、ｂｎに置き換えても、置き換えなくてもOKです。

＊＊　【a(n+1)－［-2（n+1)-1］】＝３【a(n)－［-2n-1］】

【a(n)－［-2n-1］】は、
初項【a(１)－［-2-1］】＝１＋3＝４
公比　３　の等比数列で、
【a(n)－［-2n-1］】＝４（３＾（ｎ－１））

　　a(n)＝４（３＾（ｎ－１））－（２ｎ＋１）
--------------------------------------------------

お礼

ご回答ありがとうございます！
理解できました。とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました！

回答No.3

Mr_Holland

＞何故b_n=a_n-(αn+β)とおくのでしょうか？αn+βがどこから出てきたのか分かりません・・・。

　＃１さんの言われるとおりです。
　もし、{a_n}以外の項が「４ｎ」でなく定数でしたら、特性方程式から「何か」であるαを求めて、簡単にした{b_n}の数列の漸化式で解いていかれると思います。
　この問題では、定数項でなく「４ｎ」というｎの1次に依存した項になっていますので、ｎの1次式であるαｎ＋βを持ち出して、なんとか等比数列になるような漸化式に持ち込んだわけです。
　つまり、数列以外の項が定数（ｎの0次式）の場合は、何らかの定数で変形し、ｎの1次式の場合は、何らかの1次式で変形するということです。（こう考えると、もし数列以外の項がn^2などとなったときも対応ができますよね。）

＞また、{b_n}が等比数列になるようにαとβを求める、ということも理解できません。
＞何故、b_nは等比数列にならなければいけないのでしょうか？

　別に、必ず、等比数列にしなければならないわけではありません。
　ただ、漸化式を最も分かりやすい数列の一つである等比数列に帰着させたほうが問題が解きやすいから、そのように変形させているだけです。
　もう一つのなじみある数列に等差数列もありますが、こちらに帰着させることができるのなら、こちらでも構いませんし、＃２さんが挙げてくださったように、階差数列に持ち込んで解く方法もあります。
　要は、いずれかの馴染みのある数列に問題を簡単化させて解くということです。

お礼

ご回答ありがとうございます！
なるほど。いろんな解き方があるんですね。
理解できました。ありがとうございました！

回答No.2

noname#56760

１様の仰るとおりです。
私なら頭が単純なので、両辺を３^(n+1)で割って
a_(n+1)　　　　a_n　　　　　　4n
――――＝―――＋――――――
３^(n+1)　　　　３^n　　　　　３^(n+1)

a_n/３^n＝b_nとおいて

b_(n+1)-b_n=4n・(1/3)^(n+1)
の階差数列を使います。

お礼

ご回答ありがとうございます！
なるほど・・・そういう解き方もあるんですね～。
勉強になりました！

回答No.1

koko_u_

本来は試行錯誤して求めるものだが、教科書はえてして「うまくいった後の内容」しか書いてないものなのです。

例えば a_{n+1} = 3a_n + 2 なら (a_{n+1} + 1) = 3(a_n + 1) なので、a_n + 1 が容易に求まりますね。

二匹目のどじょうを狙って、a_{n+1} = 3a_n + 4 でも (a_{n+1} - α) = 3(a_n - α) となる「何か」を求めようとするものです。

さらに三匹目のどじょうを狙って a_{n+1} = 3a_n + 4n で (a_{n+1} - α(n+1) - β) = 3(a_n - αn - β) となる「何か」を求めようとしておるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます！
理解できました。ありがとうございました！