rot（回転）に関しての問題です

質問

閉曲面Cで囲まれ曲面Sの面積が１とする。C上の点の位置ベクトルをp↑とする時、
∫[c] p↑×dp↑ を求めよ。

という問題で、任意定べクトルc↑を用いて、

c↑・∫[c] p↑×dp↑ = ∫[c] c↑・p↑ ×dp↑
= ∫[c] (c↑×p↑)・dp↑
= ∬[s] rot(c↑×p↑)・dS↑
= ∬[s] 2c↑・dS↑
= c↑・2∬[s] dS↑

とすることにより解が得られると、教科書には載っていたのですが、
過程において、どうやったら2c↑が得られるのかが分かりません。

すみませんが、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

そお？
p↑ が位置ベクトルでなくても、
変数変換して ∫[c] と ∬[s] の
積分範囲が変わるだけじゃない？

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>確かにp↑=(x,y,z)のときは成り立ったんですが、そうでない場合も含めた、
>一般に成り立つ計算なのでしょうか？

成り立ちません。
ここではp↑が位置ベクトルであるとしているのでこのようなことがいえるのです。

回答No.1

rnakamra

ベクトル解析の公式を使って計算しても良いが、単にc↑=(c1,c2,c3),p↑=(x,y,z)として実際に計算してみてもさほど難しくはない。

rot(c↑×p↑)=rot(c2*z-c3*y,c3*x-c1*z,c1*y-c2*x)
この計算を成分ごとに行えば
…=(2c1,2c2,2c3)
となります。

補足

確かにp↑=(x,y,z)のときは成り立ったんですが、そうでない場合も含めた、
一般に成り立つ計算なのでしょうか？