電気？の問題がわかりません・・・

質問

大学で、習ってもいないところが宿題に出されてしまって困っています。
しかもそこから小テストっていう・・・

（１）円柱座標系で電界がE=E_r*a_r[V/m]で与えられている場合、
面積素ベクトルとの内積E・dS(EとSは太文字なのでベクトルかと)を記せ。
(最初のE,a_rは太文字なのでベクトルかと)
（次のE_rとかの_は右下の小さい文字を示します）

（２）円柱座標系で電界がE=E_r*a_r[V/m]で与えられている場合、
線素ベクトルとの内積E・dl(Eとlは太文字なのでベクトルかと)を記せ。

これらの問題がまったくわかりません・・・・
面積素ベクトルとか、ならってませんよ・・・・
いろいろなサイトさんをみてみると面積分？に関係するらしいのですが・・・。
そもそも「記せ」って何を記したらいいのか・・・
なにもわからない状態で困ってます・・・
宿題だし、さっそく小テストの範囲ですし・・・・

教科書には「dSは面素ベクトル」とか（Sは太文字）
「電界E（太文字）と面素ベクトルdSのなす角をθとすれば
E・dS (EとSは太文字） = EdS*cosθ」
となるらしいのですが・・・

内積ってのはもちろんわかります。しかし、どういう内積なんでしょうか・・・？

どういうことなんでしょうか・・・
習ってないところはきついですよねー・・・

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

電界ベクトルE=E_r*a_rはr成分だけを有するというのがこの問題の趣旨と思います。内積はｒ成分のみが残ります。
(1)面積素ベクトルdS*a_rは
dS*a_r=rdθdz*a_r
よって
E・dS=rErdθdz
(2)線素ベクトルdl*a_rは
dl*a_r=dr*a_r
よって
E・dl=Edr

回答No.2

spring135

Ｎｏ.1です。
最後が間違っていました。正しくは
E・dl=Erdr

補足

回答ありがとうございます・・・しかし、いまいちよくわかりません。。
すみません。もともと線素ベクトルとか面積素ベクトルとかよくわからないので・・・

＞電界ベクトルE=E_r*a_rはr成分だけを有するというのがこの問題の趣旨と思います。
＞内積はｒ成分のみが残ります。

ｒ成分だけを有するっていうのはよくわかります。（a_rという単位ベクトル？がついていますし）
しかし、なぜ内積になるとｒ成分のみ残るのでしょうか？
つまり、電界ベクトルにr成分だけしか有さないのでｒ成分のみの内積になるということでしょうか？
φやzとの内積になることはないのでしょうか？

＞(1)面積素ベクトルdS*a_rは
dS*a_rってどこから出てきたんでしょうか・・・？
「dS」のみでなくてa_rはなぜでてきたのでしょうか・・・？
もしかして、「dS(Sは太文字なのでベクトル？)」を
「dS*a_r(このSは普通のS)」としたということでしょうか？
つまり、面積素ベクトルを単位ベクトルみたいな感じにしたってことですか？
だとするとお聞きしたいのはなぜ面積素ベクトルは「a_r」というｒ方向なのでしょうか？
これも電界ベクトルがｒ方向にしか成分を持っていないからでしょうか？
φでもなく、zでもない理由ってこういうことですか？

＞dS*a_r=rdθdz*a_r
dθってdφじゃないでしょうか・・？
この右辺の「a_r」というのも上と同じ理由なのでしょうか・・？

＞よってE・dS=rErdθdz
rが２回出てきていますが、Eの後ろのrはEの右下についてるってことでしょうか？

＞(2)線素ベクトルdl*a_rは
＞dl*a_r=dr*a_r
問題文では「dl」の「l」は太文字なのでベクトルだと思います。
ここでa_rが出てくるのも上と同じ理由でしょうか？

＞よってE・dl=Erdr
このEの後ろのrも右下の小文字なのでしょうか？

電界ベクトルがr成分しか持っていないから面積素ベクトルもｒ成分のみとなるならば、

E(太文字) ＝ E_r * a_r という電界ベクトルと
面積素ベクトルの内積　E・dS(EとSは太文字) を記すときは

E・dS(EとSは太文字) ＝　(E_r * a_r)・(r*dφ*dz)　となりますよね？
ここからE・dS=rErdθdzにはどうしてなるんでしょうか？
内積は掛け算とは違うと思うので、a_rがなくなる理由がよくわかりません・・・・