停留点と最小値について

質問

実数βで次の関数の停留点を求めたいです。

f(x,y)=x^2+y^2+βxy+x+2y

これらの停留点のどれが大域的最小点となるかを求めたいです。

fをxで微分とyで微分したものを求めて、βで場合分けするのはわかるのですが、
やり方がわかりません。教えてください。

回答No.3

FT56F001

> x=(2β-2)/(4-β^2)
> y=(β-4)/(4-β^2)
> これをfに代入して
> f=(Δx-(1/2+β))^2 + (Δy-(1/2+β))^2 + β*(Δx-(1/2+β))*(Δy-(1/2+β))
> +Δx-(1/2+β)+Δy-(1/2+β)
ではないです。
x=(2β-2)/(4-β^2)+Δx
y=(β-4)/(4-β^2)+Δy
を
f(x,y)=x^2+y^2+βxy+x+2y
に代入して下さい。
(4-β^2)^2が分母について厄介な計算になりますが，根気良く計算して下さい。
一次の項は消えて，ΔxとΔyの二次の項だけが残ります。

回答No.2

FT56F001

前問で申し上げたように，手順は次です。
(1) 関数fを偏微分して0とおき，x,yについて解く。
(2) 停留点の周りの微小変分Δx，Δyを与え，
　　ΔxとΔyに関する二次の項　+　βで決まる定数
　　にする(ΔxとΔyの一次項は消える)。
　　これを整理して，極大，極小などを吟味する。

(1) x=(2β-2)/(4-β^2)で合っています。
　　同様に，yを出して下さい。
(2) Δx，Δyの式に変形して下さい。
(途中計算は大変ですが，前問と似た形になります。)

お礼

2度も申し訳ございません。本当にありがとうございます。

x=(2β-2)/(4-β^2)
y=(β-4)/(4-β^2)
これをfに代入して
f=(Δx-(1/2+β))^2 + (Δy-(1/2+β))^2 + β*(Δx-(1/2+β))*(Δy-(1/2+β))+Δx-(1/2+β)+Δy-(1/2+β)
となったのですが、ここから行き詰りました。

よろしければ教えてください。お願いします。

回答No.1

info22_

過去のあなたの質問はこの質問と「yの1次の係数が1から2になっただけで、それ以外は全く同じでベストアンサーがつけましたね
今回の投稿は、過去質と1箇所の係数以外は全く同じです。
投稿マナーとして過去質を引用すべきです。
http://okwave.jp/qa/q6923180.html
引用しないと回答者に失礼です（回答者の回答を無視したのと同じになりますよ）。
ベストアンサーを回答者の回答を完全に理解してから付けてください。質問はスレを付けて
行うのが本来のやり方です。
理解したなら今回の質問は出てこないとおもわれるけど？？

過去質のA#1と全く同様解答方法で解決すると思われます。
質問があるなら、そのA#1の回答の解答を一部修正して、補足に修正した解答を書いて、どこが分からないか、その箇所について質問して下さい。

お礼

そうですね。申し訳ございません。

x=2(β-1)/(2+β)(2-β)を求めたのですが、
ここから先がわかりません。前回のも参考にしたのですが、わかりませんでした。

よろしくお願いします。