陰関数の停留値、停留点の問題を教えて下さい。

質問

(1)x^3・y^3+3y-3x=0
によって決まる陰関数y=f(x)について停留点(f'(x)=0となるx)と停留値を求めよ。

(ヒント：f'(x)=0からx,yの関係式を求めx^3・y^3+3y-3x=0と連立させる)
(2)x^3+y^3-3xy=0の場合も同様に求めなさい
という問題です。
まず停留値が何か分からないので教えて下さい。
停留点は
式にy=f(x)を代入し、
xで微分、
そこにf'(x)＝0を代入して、
さらにf(x)=yを代入してxとyの式に戻し
これで出来た式と最初の式と連立・・・
としてxの値を求めようとしたのですが、上手く求まりませんでした。
やり方が間違っているのでしょうか。
皆さん、停留点と停留値を求める解を教えて下さい。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

(1)
x^3*y^3+3y-3x=0 ...(A)
xで微分して
3x^2*y^3+3x^3*y^2*y'+3y'-3=0 ...(B)
y'=f'(x)=0とおいて
3x^2*y^3-3=0
x^2*y^3=1 ...(C)
x≠0なので(C)にxを掛けて
x^3*y^3=x
(A)に代入
3y-2x=0
y=2x/3 ...(D)
(C)に代入
8x^5/27=1
したがって
停留点:x=(27/8)^(1/5)=(3/2)^(3/5)
停留点x=(3/2)^(3/5)における停留値:y=(2/3)^(2/5)

(2)
x^3+y^3-3x*y=0 ...(A)
ｘで微分
3x^2+3y^2*y'-3y-3x*y'=0
y'=f'(x)=0とおいて
3x^2-3y=0
y=x^2 ...(B)
(A)に代入
x^3+x^6-3x^3=0
x^3(x^3-2)=0
したがって
停留点：x=0, 2^(1/3)
x=0における停留値y=0
x=2^(1/3)のおける停留値y=2^(2/3)

お礼

ありがとうございます
おかげで助かりました

回答No.2

NoSleeves

極大点と極大値, 極小点と極小値の関係から, 停留点と停留値の関係を類推してみてください.

(1) は, (x^3)(y^3) + 3y - 3x = 0 の両辺を x で微分することによって得られる等式に, dy/dx = 0 を代入します.
それにより (x^2)(y^3) = 1 という関係式が得られます.
あとは, 連立させて x と y の値を求めるだけです.

(2) も, 同様にして解けます.

お礼

助かります。
ありがとうございます

回答No.1

akinomyoga

> まず停留値が何か分からないので教えて下さい。
停留値は、停留点の上での関数の値です。停留点を x1 とする (f'(x1) = 0) と、停留値は f(x1) の事です。

> 式にy=f(x)を代入し、
> xで微分、
> そこにf'(x)＝0を代入して、
この時点で
　(1) x^3 f^3 + 3 f - 3 x = 0,
　(2) 2 x^2 f^3 -3 = 0
の二つの式が得られているはずです。後は連立して解けば良いだけです。

(2) より
　(2') f = (3/2)^(1/3) x^(-2/3)
なので、これを (1) に代入すれば
　x = (3/16)^(1/5)
と求められます。これを (2') に再度代入すれば、停留値は
　f = 6^(1/5)
となります。

お礼

どうもありがとうございます