極値の停留点

質問

F(x,y)=x^3+y^3-x^2+xy-y^2 の極値を求めよ。
という問題なのですが、情けない事に停留点の値が求められません。

まずxとy、それぞれで偏微分すると
∂F/∂x =3x^2-2x+y=0
∂F/∂y =3y^2-2y+x=0になりますよね。
上の式から　y=-3x^2+2xを作り、下の式に代入すると
3(-3x^2+2x)^2-2(-3x^2+2x)+y=0 整理すると
3y(9y^3-12y^2+6y-1)=0
停留点の１つがy=0なのは分かるのですが、
もう一つはどうやって求めれば良いのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

9y^3-12y^2+6y-1=0
は因数定理を用いるとy=1/3が解のひとつであることはわかると思います。

ですから、9y^3-12y^2+6y-1=(3y-1)(3y^2-3y+1)=0

あとは、3y^2-3y+1=0が解を持たないことを示せばOKです。

お礼

ありがとうございます。
因数定理を全く忘れてました。
(3y^2-3y+1)は判別式より実数解を持たないという事ですね。

回答No.2

yoikagari

訂正
×3y^2-3y+1=0が解を持たないこと
○3y^2-3y+1=0が実数解を持たないこと