停留点

質問

f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+4yのfの極大値、極小値、鞍点を求めよ

xとyの偏導関数が0となるx、yがそれぞれの候補(ちなみに(x,y)=(2/3,-7/3)でした)となるのは分かるのですがその先がわかりません
手元にも参考書籍がありません
なので、出来れば分かりやすく教えて頂ければ幸いです
お願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

２変数関数の停留点の極値の判別法が載っている
参考URLを挙げておきますので勉強してください。
[1] ttp://ja.wikibooks.org/wiki/解析学基礎/二階微分
[2] ttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html
(直接URLにリンクをはれないので、先頭のhを補って参照ください)

やる手順は決まっています。手順に従って停留点で極値の判別するだけです。そのあと、最大値、最小値の判別をします。
[1]の多変数の場合(今の場合2変数)のヘッセ行列のところの[定理]に基づく判別,[2]の場合AとDの符号による判定法を使います。
どちらの判別方でも良いです。

f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+4y ...(1)
の場合
一次の偏導関数は
fx=2x+y+1 ...(2)
fy=x+2y+4 ...(3)
fx=fy=0から停留点は(x,y)=(2/3,-7/3)の１つだけです。
停留点だけが極値または鞍点の候補で、これ以外の極値、鞍点の候補はありません。
(2),(3)から２次の偏導関数は
fxx=2,fyy=2,fxy=fyx=1　...(4)
全て定数なので、停留点(2/3,-7/3)における２次偏導関数の値も同じになります。
A=fxx(2/3,-7/3)=2>0 ...(5)
C=fyy(2/3,-7/3)=2>0 ...(6)
B=fxy(2/3,-7/3)=1>0 ...(7)
参考URL[2]の判別法によれば
A=2>0,D=B^2-AC=1-4=-3<0なので 停留点(2/3,-7/3)では極小値をとる。
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3　...(8)

参考URL[1]の定理（二変数の場合）による判別法によれば
ヘッセの行列Hは
　H=([A,B],[B,C])=([2,1],[1,2])
Hの固有値を求めるとt=1,3の２つだけ。
固有値1,3がすべて正なので、定理から、停留点(2/3,-7/3)では極小値をとることが判別される。
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3 ...(8)'

以上から,f(x,y)には極大値や鞍点は存在せず、極小値は(8)または(8)'の
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3であることが判別された。

次に、最大値、最小値の判別をすると
x-(2/3)=u,y+(7/3)=vと置く（極小点までf(x,y)を平行移動）と
f(u+2/3,v-7/3)=g(u,v)(と置く)
=u^2+v^2+uv-11/3
=(u+(v/2))^2+(3/4)v^2-11/3≧-11/3
平行移動で最大値、最小値は変化しないから
(u,v)=(0,0)つまり(x,y)=(2/3,-7/3)で最小値（極小値）-11/3をとる。
lim(x→∞,y→∞) f(x,y)=lim(u→∞,v→∞) g(u,v)=∞
なので　f(x,y)の上限が存在しない（限りなく大きくなる）ので最大値は存在しない。
と判別される。

答え→最大値、鞍点は存在しない。最小値は(2/3,-7/3)=-13/3。

お礼

わかりました
詳しくありがとうございました

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

停留値は単純計算なので、後は停留点の種類の判定できれば終わりです。

ヘッセ行列を求め、固有値を求めて種類を判定します。
やり方は Wikipedia などを参照してください。

＃式の形からどこもかしこも下に凸なので、答えは明らかですが・・・

お礼

わかりました
ありがとうございました