最小解の証明について教えてください。

質問

凸２次関数f(x)がx=x_1、x_2、x_3でそれぞれ値f_1、f_2、f_3とする。
x_1=x_2－δ x_3=x_2+δ であるとき
fの最小値が f_min=f_2－((f_1－f_3)^2/8(f_1－２f_2+f_3))であることの
示し方を教えてください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

f(x)=(ax-b)^2+c　とすると、最小値はcです。

f_1=a(ax_2-aδ-b)^2+c
f_2=a(ax_2-b)^2+c
f_3=a(ax_2+aδ-b)^2+c

ax_2-b=X、aδ=d と置けば、

f_1=(X-d)^2+c
f_2=X^2+c
f_3=(X+d)^2+c

f_1+f_3=2X^2+2d^2+2c=2f_2+2d^2
(f_1-f_3)^2=(-4dX)^2=16d^2X^2=8(f_1-2f_2+f_3)X^2

c=f_2-X^2=f_2-(f_1-f_3)^2/8(f_1-2f_2+f_3)

お礼

ありがとうございます。感謝します。