締切済み 証明問題 2008/01/21 12:38 関数f(x)=x^3が凸関数でないことの証明はどうやればいいのでしょうか？ みんなの回答 （2） 専門家の回答 みんなの回答 koko_u_ ベストアンサー率18% (459/2509) 2008/01/21 15:49 回答No.2 >連続であることの証明（自明ですが）を忘れないように。 凸関数の定義に「連続性」は関係ないと思いますが。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） 10ken16 ベストアンサー率27% (475/1721) 2008/01/21 13:26 回答No.1 凸関数の定義と必要十分条件を調べましょう。 f((a+b)/2)と (f(a)+f(b))/2の 大小を全区間で調べてみると… あるいは、a,bにx，x+c（cは正の定数）を入れて 上記の差で定義される関数の符号を調べるとか。 ちなみに、連続であることの証明（自明ですが）を忘れないように。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 凸関数に関する問題 関数fが区間Iで凸関数であることの定義は、 『 区間Iにおける全てのx,yに対して αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y) 但し、0＜α＜1 』 であることとします。 この時以下が成り立つことを示せ。 (1)関数fが凸ならば，任意の3点x＜y＜zに対して f(y)-f(x)/(y-x)≦f(z)-f(x)/(z-x)≦f(z)-f(y)/(z-y) (2)関数fは内点で連続であることを示せ。 (1)の証明は出来ました。 かなり困っているので、どなたか(2)が分かる方、よろしくお願いします。 スターリングの公式の証明 １番はできたと思うのですが自信がないです。 １． 関数 g(x)=(1+1/x)+log(1+1/x) に対して、不等式、 0<g(x)<(1/12x)-(1/12(x+1)) を示せ。 ２． 関数u(x)を u(x)=Σ(n=0、∞)g(x+n) によって定義する。このとき、u(x)が収束することを示し、このu(x)を使って定義した関数 f(x)=x^x-1/2*e^-x*e^u(x) が関係式f(x+1)=x*f(x)を満たすことを証明せよ。 ３． 上で証明したf(x)がx>0で凸であることを示せ。 ２番以降はまったく手が出ません。どなたかお願いします！ 証明問題 g(x+y)=g(x)+g(y) (x,y≧0) を満たす関数について、g(x)の定積分を f(x)=∫[0→x]g(u)du としたときに、 f(x+y)-f(y)=f(x)+xg(y) を満たすことを証明したいのですが、色々考えてみても 分かりませんでした。最終的にg(x)を求めよ、という問題の形式なので g(x)が一次関数であると決め付けて解くのはいけないようですが、 どのような解法があるでしょうか？ 一様連続の証明問題です Ｒ上で定義された連続関数fが lim[x→+∞] f(x)=0 をみたすとする このときfは[0,∞)上で 一様連続であることを証明せよ. ※証明にはε-δ論法を用いよ という問題なんですが まったく歯がたちません どなたか教えてください お願いします 統計学の証明問題をどなたか教えてもらえませんか 授業で出された課題なのですが，分からないのでどなたか教えてもらえませんかお願いします． Fを分布関数とし，関数F^-1(t) , 0<t<1 は非減少で左側連続とするとき，以下の３つが成り立つことを証明せよ． (1) F^-1(F(x)) =< x , -∞<x<∞ (2) F(F^-1(t)) >= t , 0<t<1 (3) x >= F^-1(t) ならば F(x) >= t 凸関数の問題 凸集合と凸関数に関する問題です。 問題 x,y∈Ｒ＾ｎの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Ｃに関して 関数ｆを （ただし、x´はxの転置行列） f(x)=sup{<x,y>|y∈Ｃ} とおく。 （１）fが凸関数であることを示せ ｆのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、ｆが凸関数 であることから考えようとしたのですが解けません。 ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈Ｒ，μ≧f(x)} fは、その領域がS∈Ｒ＾ｎであり、値は実数か±∞をとるような関数 （２）n=1としたとき、Ｃ＝[0,1]の場合fはどうなるか？ （１）をどう生かしていけばいいのかわからない。 （３）n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦１、y[1],y[2]≧０｝ のとき、ｆの等高線をR^2上ではどうなるか？ Ｃの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。 以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。 周期関数の証明問題 周期関数の証明の問題の解説の一部について不明な点があったのでその質問です。 （f(x)が周期関数であることの証明問題です）すべてのxにおいて|f(x)|<∞とし、周期１の周期関数h(x)との関係性を、h(x)=f(x+1)-f(x)と定義する。、すべての自然数kにおいてf(x+k)-f(x)=kh(x)が成り立ちますが、ここから教科書には,「-∞<f(x)<∞なのでこの式が成り立つのはh(x)が常に0であるときのみ。よってf(x+1)=f(x)となりf(x)は周期１の周期関数」と導いているのですが、なぜ０が導けるのでしょうか？ 解説の一部だけ抜き出してるので、わかりにくかったらコメントください すぐに補足します （ちなみにh(x)が周期関数であるというのは別の部分ででてきます） 最小解の証明について教えてください。 凸２次関数f(x)がx=x_1、x_2、x_3でそれぞれ値f_1、f_2、f_3とする。 x_1=x_2－δ x_3=x_2+δ であるとき fの最小値が f_min=f_2－((f_1－f_3)^2/8(f_1－２f_2+f_3))であることの 示し方を教えてください。 証明の問題です。 証明の問題です。 f [a,b]→R を連続関数とする。 f (c) > 0 (c∈(a,b)) ならばｃを含む区間（ｃ-δ, ｃ+δ）が存在して ｘ∈（ｃ-δ, c+δ) ならば f (x) > 0 を示せ。 よろしくお願いします。 （下に）凸関数 f(x)=max{a_i x + b_i | 1 <= i <= n }は凸関数であることの証明。凸関数⇔任意のt in (0,1)に対して、f((1-t)x+ty) <= (1-t)f(x)+tf(y) であることを使って証明したいんですが、どうも上手くいきません。上手い方法があれば是非教えてください！ 凸関数についての問題。 １. hi: R^n→R(i=1,2,・・・・・m)が凸関数ならば、 集合S=｛x|hi(x)≦0｝は凸集合になることを示せ。 ２. 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