極限の式変形についてです。

質問

lim［ｎ→∞］１/４ｎ＾２（ｎ＋１）＾２/n^4

の１/４ｎ＾２は極限値０に収束するから

lim［ｎ→∞］０・（ｎ＋１）＾２/n^4

としたら間違いになりますが、その理由が何でなのか分かりません。

何かルールのようなものがあるんでしょうか？

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←A No.3 補足
ok. ただし、「lim a[n] と lim b[n] が両方収束するときには」ね。
質問の問題で、a[n] = 1/(4n^2), b[n] = (n+1)^2 / n^4 として
lim (a[n] b[n]) = (lim a[n])・(lim b[n]) = 0 lim b[n]
= lim 0・b[n] と変形するためには、
lim b[n] が収束することを言わねばダメで、それ無しに変形すると、
たまたま値が当っていたとしても、論理に穴があるということ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

全てわかったので締め切ります。

回答No.3

alice_44

No.1 への補足を見たけれど、依然として
式の形がよく判りません。
「分母」と「分子」が逆みたいだし。
1/4n^2 は、→0 だというなら、1/(4n^2)
のことなんでしょうね。

部分式の lim をとるときの唯一のルールは、
lim a[n] と lim b[n] が両方収束するときには
lim (a[n] b[n]) も収束して、その値は
= (lim a[n])・(lim b[n]) だというものです。

これによれば、
lim[n→∞]{ 1/(4n^2) }(n+1)^2 / n^4 の場合、
lim[n→∞]1/(4n^2) と lim[n→∞](n+1)^2 / n^4 の
両方が →0 と収束するので、
= { lim[n→∞] 1/(4n^2) }・{ lim[n→∞] (n+1)^2 / n^4 }
としてよく、更に
= 0・lim[n→∞] (n+1)^2 / n^4
= lim[n→∞] 0・(n+1)^2 / n^4
とすることもできるのです。

この変形は、(結果的に)やっても ok です。
ok である理由は、書かないとマズイでしょうが。

お礼

ご回答ありがとうございます。

lim［ｎ→∞］{１/４ｎ＾２（ｎ＋１）＾２}/(n^4)
（分子）＝{１/４ｎ＾２（ｎ＋１）＾２}
（分母）＝(n^4)

でしたm(__)m

lim［ｎ→∞］（aｎ＋bｎ）＝lim［ｎ→∞］aｎ＋lim［ｎ→∞］ｂｎ

lim［ｎ→∞］（aｎ・bｎ）＝lim［ｎ→∞］aｎ・lim［ｎ→∞］ｂｎ

というように出来るということでしょうか？

回答No.2

kabaokaba

>すみません、仰る通りです。

まだ不十分．分母分子を明確に

=========
2^n/n の極限どうする？

2^n (1/n)で 1/nが0に収束するから

2^n/n -> 0

とするの？

お礼

もう一度よく考えてみると。

勘違いしてしまっていたことが判明しました((+_+))

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どういう式なの? どこが分子でどれが分母なのかすら分からない.

お礼

すみません、仰る通りです。

lim［ｎ→∞］{１/４ｎ＾２（ｎ＋１）＾２}/(n^4)

（分母）＝{１/４ｎ＾２（ｎ＋１）＾２}
（分子）＝(n^4)

の１/４ｎ＾２は極限値０に収束するから

lim［ｎ→∞］{０・（ｎ＋１）＾２}/(n^4)

としたら間違いになりますが、その理由が何でなのか分かりません。

何かルールのようなものがあるんでしょうか？

ご回答宜しくお願い致します。