三角形の二辺と面積から内接円の半径を求める

質問

三角形の二辺(15、13)と面積(84)から内接円の半径の求め方を教えてください。

回答No.7

girlkeeper · ベストアンサー

＃５です。訂正と補足を。

（誤）三辺の長さをａ，ｂ，ｃとして、ａ＝１３、ｂ＝１３として・・・
（正）三辺の長さをａ，ｂ，ｃとして、ａ＝１５、ｂ＝１３として・・・

もちろん、１３と１５が逆でもOKです。

＞・・・登場する２次方程式が結構むずかしいなど注意点が多い。

と末尾に書きましたが、私の要領が悪すぎました。難解な2次方程式を使わずとも、以下のようにすれば、ちゃんと算出できます。根性が少々必要ですが。

１．長さ１５の辺ＢＣを底辺とする（長さ１３の辺ＡＢでもいいのですが、ここでは仮にそうします）。
２．面積が８４であることから高さＡＤを求める
３．△ＡＢＤで三平方の定理を用いてＢＤを求める
４．ＤＣを求める
５．△ＡＤＣで三平方の定理を用いてＡＣを求める

途中でくじけそうな値も出てきますが、電卓なしでも何とか算出可能です。あと、もう１パターン（＃６さんの緑色の三角形）あることを忘れずに。でも、やっぱりオススメは余弦定理かな。

ＡＣの長さが分かれば「三辺の長さから内接円の半径を求める公式」で算出して終わり。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.8

kenjoko

質問者から何の音沙汰もないので、周りがいくら考えてもムダ。

私は去る。

回答No.6

naniwacchi

こんばんわ。

わたしも、#5さんと同様に三角形の面積を
(1) ヘロンの公式を用いて表す
(2) 内接円の半径を用いて表す

ことで、残りの一辺の長さと内接円の半径を求めることを考えました。
計算が少しややこしそうにみえますが、複雑というわけでもないと思います。
両者には、s＝ (a+ b+ c)/2（a,b,cは三角形の三辺の長さ）が現れるということから思いついています。

あと、答えが 2つ存在するというのは、
添付の図のように一方の辺を「底辺」として固定して、
もう一方の辺との「角度を開いていく」イメージで動かしていくとわかると思います。
青の辺と緑の辺の三角形は、等積変形のような位置づけになっています。

お礼

ご回答していたたきありがとうございました。

回答No.5

girlkeeper

＃１さんや＃２さんの解法に比べると面倒ですが、ヘロンの公式を使うという手があります。

三辺の長さをａ，ｂ，ｃとして、ａ＝１３、ｂ＝１３としてヘロンの公式でｃを未知数とする方程式を立てます。

ｃの４次式になりますが、ｘ＝ｃ^2　と置くとｘの2次式になります。

この2次式は因数分解できるのですが、ムズかしい。そこで解の公式を使うと、開平が少々厄介。
ｘの値は２つともプラスの数になるので、ｃはｘの平方根のうち、プラスのもののみを採用して２つ求まる。

あとは三辺の長さから内接円の半径を求める公式に代入。

さらに別の方法として、ａ，ｂいずれかを底辺として面積から高さを求め、三平方の定理から方程式を立ててｃを求めるのもあります。一見、一番簡単な方法に見えますが、三角形の形が２パターンあることを見落とさないこと、登場する２次方程式が結構むずかしいなど注意点が多い。

回答No.4

mister_moonlight

＞cos＾2θ＋sin＾2θ＝1から、cosθを求め、(1)に代入してxを求める。

三角形の成立条件より、｜15-13｜＜x＜15＋13　つまり、2＜x＜28　という条件を忘れずに。

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。。。。。ｗ

(誤)　2r*(15＋13＋x)＝面積　
(正)　r*(15＋13＋x)＝面積*2

回答No.2

kenjoko

＞三角形の二辺と面積から内接円の半径を求める

三角形の内接円の半径は、三辺の長さから容易にもとめられる。

三角形ABCにおいて、三角形の面積をS、既知の二辺の長さと、その挟角をそれぞれa、、b、Cとする。

公式S=(1/2)ab・sinC　からsinCを求め、さらに、sinCよりcosCを求める。
あとは余弦定理を用いて残りの辺ｃの長さをを求める。

ここまで説明しても分からなければ、前に戻ってやり直した方がよい。
計算はご自分で・・・

「三角形を征する者は数学を征す」

お礼

ご回答いたたきありがとうございます。

回答No.1

mister_moonlight

計算が面倒そうなので、それは自分で計算する事。
方針だけ示しておく。

△ＡＢＣで　ＡＢ＝15、ＢＣ＝x、ＣＡ＝13、∠ＢＡＣ＝θとする。
(1)　余弦定理から、x＾2＝225＋169-390*cosθ
(2)　面積＝84＝(1/2)*(13)*(15)*(sinθ)
cos＾2θ＋sin＾2θ＝1から、cosθを求め、(1)に代入してxを求める。２つ出るだろうが、適するかどうか確かめる事。
(3)　内接円の半径をrとすると、公式から　2r*(15＋13＋x)＝面積　だから、後は代入して計算するだけ。

お礼

返答がおくれて申し訳ありませんでした。以後気を付けるようにします。