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この問題とき方を教えてください。
ΔABCで、sinA:sinB:sinC=7:5:3のとき、面積は15√3 です。３辺を求めなさい。と問題にはあります。
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- march4
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御答えしますね。 ゆっくり、図を書きながら読んでみて下さい。 頂点Bから辺ACに下ろした垂線の長さをHとおきます。 同様に、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の長さをhとおきます。 そうすると、 sinA＝H/AB、sinB＝h/BC、sinC＝H/BC sinA＝h/AC と、表せます。 条件より、sinA:sinB:sinC=7:5:3なので、 sinA：sinC=H/AB：H/BC=7：３ この式の両辺にAB・BCをかけて、AB：BCの比を求めると、 BC＝AB＝７：３ とわかります。 同様に、 sinA：sinB=sinA＝h/AC：h/BC＝７：５ より BC：AC＝７：５ とわかります。 ここで三辺を比で表してみると、 BC：AC：AB＝７：５：３ になるので、 BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X （X＞０）とおくことにします。 次に、三辺の関係が分かったので、ここでヘロンの公式を使います。 ヘロンの公式という便利な公式は覚えておくと便利です。 私も高校生の時には、お世話になりました。 ■ヘロンの公式について（参考URLより） 三角形の三辺の長さa、b、c が分かっている時、三角形の面積Ｓは、 ｒ＝（a＋b＋c）÷２ とおくと Ｓ＝√｛r(r-a)(r-b)(r-c)｝ と表せます。 この問題でヘロンの公式を使うと、次のようになります。 r＝（３x＋５x＋７x）÷２＝１５x/2 Ｓ＝√｛r（r-3x)(r-5x)(r-7x)｝ ＝｛１５・（Ｘの２乗）/4｝・√３ となり、 ここで、条件より面積は15√3 なので、 ｛１５・（Ｘの２乗）/4｝・√３＝１５√３ （Ｘの２乗）＝４ ∴Ｘ＝２（Ｘ＞０） これを BC＝７X、AC＝５X、AB＝３X に代入して BC＝14、AC＝10、AB＝6 とわかります。 （終了）
お礼
お答えありがとうございます。 ヘロンの公式は知らないのですがわかりやすく 書かれてあってよかったです。
補足
申し訳ないのですが、ヘロンの公式以外で解く方法はないのでしょうか？なければこのままヘロンの公式を使ったものでありがたいです。
- h_i_r_o_b_o_w
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ヘロンの公式を使う方法ですね。 面積＝√{s(s-a)(s-b)(s-c)} sは三角形の周の長さの半分 sinA:sinB:sinC=7:5:3 なので、それぞれの辺は実数t(tは正）とすると、 a=7t,b=5t,c=3t よってｓは s=(a+b+c)/2=(7t+5t+3t)/2=15t/2 ヘロンの式より 15√3=√{7.5t(7.5t-7t)(7.5t-5t)(7.5t-3t)} 15√3=15√3*t^2/4 t^2=4 tは正なので t=2 よって、３辺は 14,10,6
お礼
ありがとうございます。 ヘロンの公式を使うとあるんですが、 ヘロンの公式を習ったかどうか…。 とりあえずこの方法でいってみます。
お礼
わざわざありがとうございます。こういうとき方もあるんですね。勉強になりました。