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2次曲面の標準化

2003/10/29 19:45

「F(x,y)=ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 　という問題の標準化について考えよ」　とあるんですが、直交行列についての知識が浅いのもあって手こずってます。ですから詳細な解説をいただけたらと思ってます。　どうかよろしくお願いしますm(_ _)m

norimotsu
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数学・算数
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KENZOU
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2003/10/30 16:08 回答No.2

２次曲線は適当な平行移動と座標回転で標準形に書き直すことができますね。そこで平行移動によりまずx,yの1次の項を消し,次に回転によりxyのクロス項を消すというやり方がこの問題に対する処方箋です。１．平行移動 x,yそれぞれの方向にP,Q平行移動した新しい座標をX,Yとすると　　X＝x－P,Y＝y－Q　　(1) となりますね。これをF(x,y)に代入してやると、地味な計算をこつこつした結果(笑い）　　F(X,Y)＝aX^2+2hXY+bY^2+2(aP+hQ+g)X+2(bQ+hP+f)Y 　　 +(aP^2+2hPQ+bQ^2+2gP+2fP+c)=0 (2) となります。そこで1次項を消す条件は　　aP+hQ+g＝0，bQ+hP+f=0　　(3) となります。ついでに(2)式の定数項を消しましょう。このための条件は　　aP^2+2hPQ+bQ^2+2gP+2fP+c＝0　　(4) ですね。これでF(x,y)はサッパリしました。即ち　　F(X,Y)＝aX^2+2hXY+bY^2　　(5) しかしXYのまだクロス項が気になります。この項は座標を適当に回転し、回転後の座標で書けくと消すことが可能です。ところで座標回転は通常直交行列で書かれたりしますね。そこで行列の知識が必要になってきます。＞直交行列についての知識が浅いのもあって手行列の話はある程度しますが、話がくどくどとなるので、ある程度ご自分で頑張ってください。２．２次曲線の標準化復習を兼ねてステップを踏んでいきましょう。 (1)2次曲線の標準形の分類（参考）一般的な2次曲線として　　Ax^2+By^2+Cx+Dy＋E＝0　(6) を考えます。これは次のように分類されます。 (a)楕円形：AB>0,(b)双曲型：AB<0,（C)放物型：AB=0 (2)2次曲線の行列表示１の議論で(6)の2次曲線は適当な平行移動でx,yの1次の項を消せることが分かったので、(6)をさっぱりと　　ax^2＋2bxy＋cy^2＋d＝0　(7) と書くことにします。ここでb≠0とします。そうしないとすでに標準形になってしまうから。さて、(7)は行列での次ように書けます。書き方に苦しいものがありますが(笑い)、本当にそうか、展開して確かめてください。　　（ｘ，ｙ）｜a　b｜（ｘ　　　　　　　｜b　c｜　ｙ）＋d＝０　(7) (7)のまん中の行列は対称行列と呼ばれています。ところでこの行列をよく睨むと　　　　　　　｜a'　０｜　　　　　　　｜０　b'｜という形に書ければ例のXYのクロス項がなくなるという事が分かりますね。 (3)行列の固有値Ｇをｎ次の正方行列とし、ｎ次の列ベクトルをｘとすると　　　　Ｇｘ＝ｎｘ　　　(9) の連立方程式が０でない解ｘをもつような数λの値をＧの固有値と言い、その時のｘを固有値λに対応するＧの固有ベクトルと言います。 (7)の対称行列をＧとして、Ｇの固有値をλとすると、λは　　　｜a－λ　b｜＝0　　(8) 　　　｜b　c－λ｜より次の固有方程式の解となります(←この辺りの説明はテキスとを参照してください）。　　　λ^2－(a+c)λ＋(ac－b^2)＝0　　(9) (9)の判別式を見ると　　　Ｄ＝(a+c)^2－4(ac－b^2)＝(a－c)^2+4b^2　(10) b≠0を仮定しているので上の判別式はＤ＞０となり行列Ｇは相異なる固有値λ1、λ2を持つことになります。それぞれの固有値に対して固有ベクトルx1、x2が存在します。そしてこれら固有ベクトルは直交関係にあります(内積＝０）。また、この場合、対称行列Ｇはある直交行列Ｒを使って　　Ｒ＾－１ＧＲ＝｜λ１　０｜　　　　　　　　　｜０　λ２｜　　(11) とかけます。 (4)座標の回転変換 2つの固有値のそれぞれの固有ベクトルをＲ1,Ｒ2として　　Ｒ１＝｜cosθ｜、　Ｒ２＝｜－sinθ｜　　　　　｜sinθ｜　　　　　｜　cosθ｜　　(12) と書き、ベクトルＲ＝（Ｒ1,Ｒ２）を　　Ｒ＝｜cosθ　－sinθ｜　　　　｜sinθ　　cosθ｜　　(13) として、座標の回転を考えます。即ち回転は次のように書くことができます。　　｜ｘ｜＝Ｒ｜Ｘ｜　　｜ｙ｜　　｜Ｙ｜　　(14) Ｒは直交行列ですから、(14)の転置行列をとると　　（ｘｙ）＝（ＸＹ）Ｒ^-1　　(15) とすることができます。 (5)第４コーナー (15)を(7)に代入すると　　（ＸＹ）Ｒ＾－１ＧＲ｜Ｘ｜　　　　　　　　　　　　｜Ｙ｜＋ｄ＝０　(16) となります。 (6)ゴール (16)の左辺の真中はＲ^-1ＧＲという姿をしているので、(11)が使えますね。それを使って(16)を書き直すと　　（ＸＹ）｜λ１　０｜（Ｘ　　　　　　｜０　λ２｜　Ｙ）＋ｄ＝０　(17) となり、これは平べったく書くと　λ1Ｘ^2＋λ2Ｙ^2＋ｄ＝０　　(18) となります。これは紛れもなく2次曲線の標準形を表していますね。尚、最初の１で議論したヤツはｄ＝０としたものですね。まぁ、ごたごたと書きましたが、じっくり読んで（ナヌ読みにくい、、、ご尤も）フォローしてみてください。

質問者