直交変換で標準形を求める

質問

直交変換x = Tyを用いて
f = 2(x1)^2+5(x2)^2+4(x1)(x2)…[1]　　（x1とx2はそれぞれ要素です）
の標準形を求め、さらにTを求めよという問題です。

標準形については[1]式を
(x1 x2) |2 2| (x1 x2)^t = xAx^t
　　　　 |2 5|
と変形して、Aの固有値を求めλ=1、6となりました。
固有値から標準形は
f = (y1)^2+6(y2)^2
と求めました。
このときT = A =|2 2|
　　　　　　　　 　 |2 5|
という答えにしていいのでしょうか。

これではただ標準形にしただけで、間違っているような気がします。
直交変換について調べてみても
T(a)・T(b) = a・b
が成り立つTのこと、ということしかわかりませんでした。
どなたか教えてください。

回答No.1

toranekosan222 · ベストアンサー

えっと、ダメです。おっしゃるとおり、まだ足りません。

xをyの線形変換Tで記述すると、以下になる。
[1]=x^tAx=(Ty)^t(A)(Ty)=y^t(T^t A T)y
さて、標準形というのは、T^tATを対角化するようなTを求め、
対角要素（固有値）を求めることに等しいです。

なので、Tを求めましょう。

お礼

T^tATの対角化で苦労しましたが
何とか解くことができました！
丁寧な回答ありがとうございます。