線形代数の質問です。

質問

『1直線上にない4点(xi,yi)(i = 1,2,3,4)が同一の円周上にあるための条件を求めよ。』
という問題についてです。

この問題の解説にこう書かれています。
..................
4点が円周x^2+y^2+2gx+2fy+c=0上にあるとすると
x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0
x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0
x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0
x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0
これを1,2g,2f,cが非自明解であると考えると、係数行列式が0.
すなわち、係数行列をAとすると、条件はdetA=0
..................
とあるのですが、何故、求める条件がdetA=0となるのかが理解できません。

同次連立1次方程式Ax↑=o↑が非自明解をもつための必要十分条件が、
detA=0であることは分かっているのですが・・・。

回答No.2

spring135

>4点が円周

x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 (0)

上にあるとすると

x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0 (1)
x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0 (2)
x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0 (3)
x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0 (4)

4点(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)が円（0）上にある条件が(1)~(4)であり、未知数は

g,f,cの３個です。従って(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が直線状にない限り

(1)-(3)によってg,f,cは決まります。

これは与えられた３点を通る円が一義的に決まることに対応しています。

この問題のポイントは点(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る円Cが第４の点(x4,y4)を通るための条件

を求めているということです。つまり(x4,y4)が逆に条件を付けられているわけです。

つまり(x4,y4)が未知数です。これは３点で決まる円上に第４の点が乗る条件です。

以上の議論で点(x4,y4)を特別扱いしましたが、3点(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)を通る円C’上に

点(x1,y1)が乗る条件としても結果は全く変わらないはずです。

そのような観点から条件を見直してみると結局「1,2g,2f,cが非自明解を持つ」条件に還元される

ということです。

回答No.1

rnakamra

次のような連立方程式を考えているのです。
(x1^2+y1^2)α+x1*β+y1*γ+δ=0
(x2^2+y2^2)α+x2*β+y2*γ+δ=0
(x3^2+y3^2)α+x3*β+y3*γ+δ=0
(x4^2+y4^2)α+x4*β+y4*γ+δ=0
この連立方程式が(α,β,γ,δ)=(1,2g,2f,c)という非自明解をもつための必要条件を求めているのです。

補足

非自明解をもつための条件が、4点が同一円周上にある為の条件に何故なるのでしょうか?