問題が最後までできません＾＾；

質問

f(x,y)=ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy +c が極小値をとれば、その値は同時に最小値であり、また最大値をとればその値は同時に最大値であることを証明しなさいという問題です。

極値点を置いて、偏微分していったのですが、途中から混乱してしまい答えが正しいのかわかりません。
どなたか解説していただければありがたいです。宜しくお願いします。

回答No.1

info22

f(x,y)の係数をはじめから任意変数にしてしまうから色々なケースを一緒くたにして考えるから収拾が付かなくなるのです。
まず、実数係数セット(a,b,c,h,f,g)をとり得る「数値の組合せセット」の色々な場合についてやってみて下さい。そのあと、それらを係数にどんな条件があれば極小値をもつか、極大値を持つか、両方とも持たないか、のケースになるかに場合分けして下さい。
その場合分け（ケース）ごとについて、証明するには何を言えばよいかをまとめて下さい。
そうすれば証明すべきことが明らかになり、混乱することなく証明できるかと思います。

具体的に証明すべきことを把握しないで証明しようとしても、混乱するだけです。

任意の係数セットについて、一般的に証明しようとするのは、ちょっと欲張りすぎかと思います。
まずは、極小値を持つ場合の係数条件を明らかにし、その場合について極小値が最小値になることを証明する。つまり任意の実数(x,y)についてf(x,y)≧f(xo,yo)(極小値）が成立する事を示せはf(xo,yo)が最小値となることが言えます。
次に極大値を持つ場合についても、同じように最大値になることを同様に証明すればいいかと思います。

なお、問題の丸投げはマナー違反で削除対象になりますので、自分の解答を書いて質問するようにして下さい。

お礼

的確なアドバイスありがとうございます。
方針がわかったので自分なりにやってみました。