onegaisimasu

質問

同値律の3法則が独立であることを示すということで，
集合Eとしては，実数全体をとり，次の3つの関係
x R_1 y とは x=y=0
x R_2 y とは x≦y
x R_3 y とは ｜x-y｜<1

を考えてこのとき
R_1は反射律R_2は対称律R_3は推移律が成り立たないのでそれぞれの
法則は独立であると述べられているのですがよくわかりません．
どういうことなのか教えてください．

回答No.1

arrysthmia

公理が独立であるとは、その公理が、他の公理から証明できる定理ではない
ことを言います。それを示すためには、その公理は成立しないが、
他の公理は全て成立しているような、実例をひとつ挙げれば十分です。
その実例が、「他の公理から証明できる」ことの反例になりますからね。

質問の例で言えば、R_1 で反射律は成り立たないが、対称律と推移律は成り立つ
ことから、対称律と推移律の成立を仮定しても、反射律を証明することはできない
ことが分かります。