等比級数での解き方

質問

5ヶ月で合計20万円稼ぐ計画なんですが、4万円/月の線形で稼ぐのではなく、
各月の稼ぎを前月の2倍になるように計画したいんです。
その場合の等比級数での解き方を教えてください。

漸化式じゃない計算で1ヶ月目をxとおくと、5ヶ月なので
1ヶ月目：x
2ヶ月目：x+2x
3ヶ月目：x+2x+4x
4ヶ月目：x+2x+4x+8x
5ヶ月目：x+2x+4x+8x+16x
…で合計31xになり、
31x = 200,000
x = 6451.6 ≒ 6542
になります。

漸化式にすると
x[n] = x[n-1] + 2^(n-1)*x[1]
n=5
x[5]=200,000
だとして、
x[5] = x[4] + 2^(4)*x[1]
x[4] = x[3] + 2^(3)*x[1]
x[3] = x[2] + 2^(2)*x[1]
x[2] = x[1] + 2^(1)*x[1]

…と再帰的にやっていくと

x[2] = x[1] + 2^(1)*x[1]
x[2] = 3*x[1]
x[3] = 3*x[1] + 2^(2)*x[1]
x[3] = 7*x[1]
x[4] = 7*x[1] + 2^(3)*x[1]
x[4] = 15*x[1]
x[5] = 15*x[1] + 2^(4)*x[1]
x[5] = 31*x[1]

x[1] = x[5] / 31
x[1] = 200,000 / 31
と求まります。
nの数が増えても解けるような、より簡単な方法を知りたいです。等比級数を使えば解けるらしいんですが、どの式を参考にしていいのかすら分かりません。解き方をずばり教えてください。お願いします。

回答No.1

edomin7777 · ベストアンサー

単純に等比数列の和を求めて、割ってやる。

5ヶ月目：x+2x+4x+8x+16x

ここに注目

x+2x+4x+8x+16x…
x(1+2+4+8+16+32…)
と言うこと。
括弧の中が判ればよいのだから、
初項1、公比2、項数nの等比数列の和Snは、
Sn=1(1-2^n)/(1-2)=-(1-2^n)=2^n-1

nが5の時は、
Sn=32-1=31
これに、xを掛けると元の式になるはず。

なので、
総所得=(2^n-1)×最初の月の所得
最初の月の所得=総所得/(2^n-1)
で求められますよ。

お礼

明解な回答でした！
ありがとうございました！