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数学基礎：漸化式と再帰的定義について
- 漸化式と再帰的定義の区別ができない。
- 漸化式は一般式を求める前段階の式であり、再帰的定義は左辺を右辺で定義する式。
- 一つの式を漸化式か再帰的定義か判断する基準が曖昧である。
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「漸化式」と「再帰的定義」は、別にどちらであるか判別すべき対立概念では ないように思いますが。 名前の通り、「漸化式」は式の名称、「再帰的定義」は数列の定義の仕方の 名称でしょう。 数列を定義するとき、各項の値を直接定めるのではなく、それぞれの項を 他の項の値から間接的に定めるルールだけを用意し、最初のいくつかの 項の値から次々とドミノ倒しのように値が定まり、結果として数列全体が 一意に定まるようにする定義の仕方をするとき、これを「再帰的」な定義 と呼びます。 そして、このように数列を再帰的に定義する際などに用いられる、数列の 多項間の関係式を「漸化式」と呼ぶのだと思います。 ですから、例えば、お示しのフィボナッチ数列の例であれば、 「数列F(n)は、漸化式 F(n)=F(n-1)+F(n-2) (2≦nの場合),F(0)=0 により、再帰的に定義される」 ということであり、これが「漸化式」と「再帰的定義」のどちらであるかなどと 考えることは無意味であると思います。
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- Tacosan
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まず, もっとシンプルに a=b という式であっても, 「a と b との間の関係」とも見えるし「(b を使った) a の定義」とも見える. これと同じことで, 「漸化式」というと「左辺と右辺の関係」, 「再帰的定義」というと「左辺を右辺によって定義する」というイメージになるんじゃないかな. 状況的にはどっちでもいいことも多いと思う. ちなみに「再帰的定義」と「帰納的定義」は全く同じ (同じ英語に違う訳が付いただけ).
お礼
ご回答ありがとうございます。 少し混乱が生じてしまいました。 「漸化式」を「左辺と右辺の関係」と捉えると、 すべての恒等式は漸化式になるとは思いづらい からです。「すべての恒等式は漸化式である」と いう公理があれば別ですが・・・。 再帰的定義についても同様で、「左辺を右辺に よって定義する」という公理があれば、納得が いくのですが・・・。 「再帰的定義」＝「帰納的定義」であるとは 知りませんでした。ありがとうございます。
お礼
ご回答ありがとうございます。 無意味なことに悩まされていたことに気付かされました。 式の名称と、定義の仕方の名称なので、対立する概念では ないことが理解できました。 改めて御礼申し上げます。