等差級数と等比級数の方程式

質問

等差級数の合計や等比級数の合計を計算するための方程式を教えて頂きたいと思います。例えば１の等差級数で１から１０までの合計は５５になります。もし１から７０までの合計を知るためにはどんな方程式が使えるでしょうか？　
また２の等比級数の合計を計算する方程式があれば、自分から例えばN世代前まで過去に遡ると、自分の誕生に関わってきた祖先の数なども計算出来るだろうと思います。もしNが１０とすると１０世代前には１９９２人の男女、全世代では３９８２人の男女のDNAが自分の身体に流れていることになります。そのような計算を簡単に出来る方程式を知りたく思います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

等差級数の合計の公式
　1+2+…+n　の和の公式なら
　S[n]=1+2+…*n=n(n+1)/2　となります。
　n=10とすれば S[10]=10*11/2=55 となります。
　n=70とすれば S[70]=70*71/2=35*71=2485 となります。
一般的な等差級数の場合
　一般項a[n]=a[1]+(n-1)d
dは公差、a[1]は初項
　和の公式S[n]=n(a[1]+a[n])/2=n{2a[1]+(n-1)d}/2
　となります。

等比級数の合計S[n]の公式
　一般項a[n]=a*r^(n-1)
　初項a,公比r(≠1)
　S[n]=a(1-r^n)/(1-r)
または
　S[n]=a(r^n -1)/(r-1)

＞もしNが１０とすると１０世代前には１９９２人の男女、全世代では３９８２人の男女のDNAが自分の身体に流れていることになります。

この数字の出典はどこから来たのですか？
「全世代」とは何世代前ですか？

お礼

info22様
長い間この公式を知りたいと思っていました。お陰で長年の思いが叶った感じです。ありがとうございます。先日我が家の息子と先祖の事を話していました。「お前は俺とお母さんの二人の親のDNAを引き継いで生まれた。俺もお母さんもそれぞれの両親のDNAを引き継いで生まれた。その４人のお前の祖父母もそれぞれの両親（合計８人の男女）のDNAを引き継いで生まれた。それを何世代も遡って行くと、お前が受け継いだ先祖からのDNAは凄い数になる。その事を考えろ。お前の身体はお前だけのものではなく、何百年、何千年、何万年と受け継がれて来た先祖のお陰だ」と言った後で、例えば一世代を平均２５年とすると、５００年、１０００年遡って行くと、その先祖の数はどれ位になるか計算出来たらと思った次第です。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

これネットで探せば無数に出てくると思いますが

等差数列
S = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ...... (a + nb)
とすると
S = (a + nb) + (a + (n-1)b) + ........ a
だから
2S = (2a + nb) X (n+1)

S = (n+1)a + n(n+1)b/2

a=0, b=1 n=70 とすれば OK。

等比数列

S = a + ab + ab^2 + ........ ab^n
bS = ab + ab^2 + ......... ab^(n+1)
S-bS = a - ab^(n+1) = a{1-b^(n+1)}

S = a{1-b^(n+1)}/(1-b)

a=1, b=2, n=10 として S =4093 ですが 3982 ってなんでしょう？

等比数列ではない？？？？

お礼

tknakamuri様
早速にご回答頂き、ありがとうございました。中学か高校で習ったかと思うのですが、成人し、すっかり忘れておりました。お陰で数学の切れの良い明確さをあらためて実感しました。感謝申し上げます。