数学の「場合の数」の問題です。

質問

0001から9999までの電話番号について
（１）1と３の2数が少なくとも一ヶ所で隣り合っているもの（例.3183）は全部で何通りあるか。
（２）１，３，５のうち異なる2数が少なくとも一ヶ所で隣り合っているものは全部で何通りあるか。

理系ですが場合の数が大の苦手です。「少なくとも」とあるので全体から引くのかなとか、「隣り合っている」とあるので13をまとめたりするんだろうかとは思いつくのですが、うまくいかなくて・・・
ちなみに解答は（1）558通り、（2）1548通り　とあります。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

（１）
４桁とも１か３の場合、
３桁だけ１か３の場合、
２桁だけ１か３の場合、
に分けて考えます。

４桁とも１か３の場合は、
2^4=16通りのうち、1111,3333を除く14通り

３桁だけ１か３の場合は、
1,3の並べ方と、残りの1桁の組み合わせを掛けて、
((2^3-2)×2+2×2×2)×8=160通り

２桁だけ１か３の場合は、
1,3の並べ方と、残りの2桁の組み合わせを掛けて、
6×8^2=384通り

計558通り

（２）
４桁とも１か３か５の場合、
３桁だけ１か３か５の場合、
２桁だけ１か３か５の場合、
に分けて考えます。

４桁とも１か３の場合は、
3^4=81通りのうち、1111,3333,5555を除く78通り

３桁だけ１か３か５の場合は、
1,3,5の並べ方と、残りの1桁の組み合わせを掛けて、
((3^3-3)×2+6×3×2)×7=588通り

２桁だけ１か３か５の場合は、
1,3,5の並べ方と、残りの2桁の組み合わせを掛けて、
6×3×7^2=882通り

計1548通り

回答No.2

nag0720

別解を

（１）
１桁目と２桁目が隣り合っている場合の数は、13xx,31xxだから200通り
２桁目と３桁目が隣り合っている場合の数も200通り
３桁目と４桁目が隣り合っている場合の数も200通り
計600通り

１桁目と２桁目、２桁目と３桁目が隣り合っている場合の数は、131x,313xだから20通り
２桁目と３桁目、３桁目と４桁目が隣り合っている場合の数も20通り
１桁目と２桁目、３桁目と４桁目が隣り合っている場合の数は、1313,1331,3113,3131の4通り
計44通り

１桁目と２桁目、２桁目と３桁目、３桁目と４桁目が隣り合っている場合の数は、1313,3131の2通り

重複して数えたものを差引して、求める答えは、
600-44+2=558
式を詳しく書くと、
(2×1×10×10×3)-(2×1×1×10×2+2×1×2×1)+(2×1×1×1)=558

（２）も（１）と同じ考え方で、
(3×2×10×10×3)-(3×2×2×10×2+3×2×3×2)+(3×2×2×2)=1548